《关于树的思维导图》

1. 树的定义与基本概念

1.1. 定义

• 正式定义： 一个由节点和边组成的非线性数据结构，满足以下条件：
  • 有一个特定的节点被指定为根节点。
  • 除根节点外，其余节点被分成互不相交的集合，每个集合又是一棵树，称为根节点的子树。
• 递归定义： 树是若干棵子树的集合，这些子树也都是树。

1.2. 基本术语

• 节点 (Node)： 树的基本单元，包含数据和指向其他节点的指针（或引用）。
• 根节点 (Root)： 树中最顶端的节点，没有父节点。
• 子节点 (Child)： 一个节点直接连接的下一级节点。
• 父节点 (Parent)： 一个节点的上一级节点，连接到该节点。
• 兄弟节点 (Sibling)： 具有相同父节点的节点。
• 叶节点 (Leaf)： 没有子节点的节点，也称为终端节点。
• 内部节点 (Internal Node)： 至少有一个子节点的节点。
• 祖先节点 (Ancestor)： 从根节点到该节点路径上的所有节点。
• 子孙节点 (Descendant)： 该节点所有子树中的节点。
• 深度 (Depth)： 从根节点到该节点的唯一路径上的边数。根节点的深度为0。
• 高度 (Height)： 从该节点到叶节点的最长路径上的边数。叶节点的高度为0。 树的高度是根节点的高度。
• 度 (Degree)： 一个节点的子节点的数量。
• 树的度： 树中所有节点度的最大值。
• 森林 (Forest)： 若干棵互不相交的树的集合。

1.3. 树的性质

• 连通性： 任意两个节点之间都存在唯一的路径。
• 无环性： 树中不存在环路。
• 边与节点的关系： 具有n个节点的树，一定有n-1条边。

2. 树的类型

2.1. 无序树 (Unordered Tree)

• 节点之间的顺序不重要的树。

2.2. 有序树 (Ordered Tree)

• 节点之间的顺序重要的树。
  • 二叉树 (Binary Tree)： 每个节点最多有两个子节点，分别称为左子节点和右子节点。
    • 满二叉树 (Full Binary Tree)： 所有内部节点都有两个子节点，且所有叶节点都在同一层。
    • 完全二叉树 (Complete Binary Tree)： 除了最后一层，其他层都是满的，并且最后一层的所有节点都集中在左侧。
    • 完美二叉树 (Perfect Binary Tree)： 所有层都是满的。
  • 多叉树 (N-ary Tree)： 每个节点最多有 N 个子节点。

2.3. 特殊类型的树

• 二叉搜索树 (Binary Search Tree, BST)：
  • 对于树中的任意节点，其左子树中的所有节点的值都小于该节点的值，其右子树中的所有节点的值都大于该节点的值。
• 平衡二叉搜索树 (Balanced Binary Search Tree)：
  • 一种特殊的二叉搜索树，其左右子树的高度差不超过 1，从而保证搜索效率。
    • AVL 树： 一种自平衡的二叉搜索树。
    • 红黑树 (Red-Black Tree)： 另一种自平衡的二叉搜索树，使用颜色标记节点来维护平衡。
• 堆 (Heap)：
  • 一种特殊的树形数据结构，满足堆的性质。
    • 最小堆 (Min Heap)： 父节点的值小于或等于其子节点的值。
    • 最大堆 (Max Heap)： 父节点的值大于或等于其子节点的值。
• B 树 (B-Tree)：
  • 一种自平衡的多路搜索树，通常用于数据库和文件系统。
• Trie 树 (字典树, 前缀树)：
  • 一种用于高效存储和检索字符串的数据结构。

3. 树的表示方法

3.1. 数组表示法

• 使用数组来存储树的节点，并通过数组下标来表示节点之间的关系。
  • 优点： 简单直观，适用于完全二叉树。
  • 缺点： 对于非完全二叉树，会浪费存储空间；插入和删除节点比较困难。

3.2. 链式表示法

• 使用链表来存储树的节点，每个节点包含数据和指向其子节点的指针。
  • 二叉树链式表示： 每个节点包含数据、指向左子节点的指针和指向右子节点的指针。
  • 多叉树链式表示： 每个节点包含数据和一个指向子节点列表的指针。
  • 优点： 节省存储空间，插入和删除节点比较容易。
  • 缺点： 访问节点需要遍历链表。

3.3. 广义表表示法

• 使用括号嵌套表示树的结构。例如：A(B(D,E),C(F,G)) 表示以 A 为根节点，B 和 C 为子节点，B 有子节点 D 和 E，C 有子节点 F 和 G 的树。

4. 树的遍历

4.1. 二叉树的遍历

• 前序遍历 (Preorder Traversal)： 根节点 -> 左子树 -> 右子树
• 中序遍历 (Inorder Traversal)： 左子树 -> 根节点 -> 右子树
• 后序遍历 (Postorder Traversal)： 左子树 -> 右子树 -> 根节点
• 层序遍历 (Level Order Traversal)： 从根节点开始，逐层遍历树的节点。

4.2. 多叉树的遍历

• 类似二叉树的前序和后序遍历，但需要遍历所有子节点。
• 通常使用深度优先搜索 (DFS) 或广度优先搜索 (BFS) 实现。

5. 树的应用

5.1. 数据存储与检索

• 文件系统： 使用树形结构组织文件和目录。
• 数据库索引： 使用 B 树等数据结构加速数据检索。

5.2. 搜索算法

• 二叉搜索树： 用于快速搜索和排序数据。
• 决策树： 用于机器学习中的分类和回归问题。

5.3. 编译原理

• 语法树： 用于表示程序代码的结构。

5.4. 网络路由

• 路由树： 用于确定数据包在网络中的传输路径。

5.5. 组织结构

• 组织架构图： 使用树形结构表示组织中的层级关系。

5.6. 压缩算法

• 哈夫曼树： 用于构建哈夫曼编码，进行数据压缩。

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