《简易方程数学思维导图》

一、方程的概念与意义

• 定义： 含有未知数的等式叫做方程。
  • 关键词： 未知数、等式
  • 等式的性质：
    • 等式两边同时加上或减去同一个数或同一个式子，结果仍然是等式。
    • 等式两边同时乘或除以同一个非零的数，结果仍然是等式。
• 意义： 方程是刻画等量关系的一种数学模型。
  • 作用： 解决实际问题，将抽象的数量关系具体化。
  • 适用范围： 涉及数量关系的各种问题，特别是需要逆向思维的问题。
• 与等式的关系： 方程一定是等式，但等式不一定是方程。
• 与代数式的关系： 方程是一种特殊的代数式，含有等号。

二、解方程

• 定义： 求方程的解的过程叫做解方程。
• 解： 使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。
• 基本思路： 利用等式的性质，将方程转化为 x = a 的形式。
• 解方程的步骤：
  1. 合并同类项： 如果方程中存在同类项，先合并同类项。
  2. 移项： 将含有未知数的项移到方程的一边，常数项移到方程的另一边。(注意：移项要变号)
  3. 系数化为1： 将未知数的系数化为1，得到方程的解。
• 常用方法：
  • 逆运算： 加法用减法，减法用加法，乘法用除法，除法用乘法。
  • 等式性质： 遵循等式的性质进行变形。
• 检验： 将求得的解代入原方程，看左右两边是否相等。
  • 重要性： 检验可以避免计算错误，确保解的正确性。
• 特殊方程：
  • 无解方程： 变形后出现矛盾，如0 = 1。
  • 无穷解方程： 变形后左右两边完全相同。

三、简易方程的类型

• 一元一次方程： 只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的方程。
  • 一般形式： ax + b = 0 (a ≠ 0)
  • 解法： 按照解方程的步骤进行求解。
• 二元一次方程组 (简述，不深入)： 含有两个未知数，且未知数的最高次数为1的两个方程组成的方程组。
  • 解法： 代入消元法、加减消元法。 （此处仅作提及，不展开）
• 含有括号的方程：
  • 解法： 先去括号，再按照解方程的步骤进行求解。
    • 去括号法则：
      • 括号前面是“+”号，去掉括号和“+”号，括号里的各项都不变号。
      • 括号前面是“-”号，去掉括号和“-”号，括号里的各项都要变号。
• 含有分母的方程：
  • 解法： 先去分母，再按照解方程的步骤进行求解。
    • 去分母的方法： 方程两边同时乘以所有分母的最小公倍数。 (注意：每一项都要乘)
• 比例方程： 含有比例的方程。
  • 性质： 内项之积等于外项之积。
  • 解法： 利用比例的性质，将比例方程转化为其他类型的方程，再进行求解。

四、列方程解决实际问题

• 步骤：
  1. 审题： 弄清题意，找出已知条件和所求问题。
  2. 找等量关系： 分析题中的数量关系，找出能够表示等量关系的句子。 这是关键的一步。
  3. 设未知数： 设一个未知数为x，并用含有x的代数式表示相关的未知量。
  4. 列方程： 根据等量关系列出方程。
  5. 解方程： 解所列的方程，求出未知数的值。
  6. 检验并作答： 检验所求得的解是否符合题意，并写出答案。(包括单位名称)
• 常见类型：
  • 和差倍分问题：
    • 关键： 找到总量和各部分之间的关系。
  • 行程问题：
    • 基本公式： 路程 = 速度 × 时间
    • 相遇问题： 总路程 = (速度和) × 相遇时间
    • 追及问题： 追及路程 = (速度差) × 追及时间
  • 工程问题：
    • 基本公式： 工作量 = 工作效率 × 工作时间
    • 通常把总工作量看作单位“1”。
  • 利润问题：
    • 基本公式： 利润 = 售价 - 成本
    • 利润率 = (利润 ÷ 成本) × 100%
    • 打折问题： 售价 = 成本 × (1 + 利润率) × 折扣
  • 年龄问题：
    • 关键： 年龄差不变。
• 注意事项：
  • 设未知数时要写清楚设的是什么。
  • 方程两边的单位要一致。
  • 答案要完整，包括数值和单位。
  • 检验要完整，不仅要检验方程的解，还要检验是否符合实际情况。

五、易错点

• 移项忘记变号。
• 去括号时忘记变号。
• 去分母时忘记给每一项都乘以最小公倍数。
• 审题不仔细，找错等量关系。
• 解方程后忘记检验。
• 答案不完整，忘记写单位或答非所问。
• 对行程问题、工程问题等常见类型的公式不熟悉。

六、拓展延伸

• 方程的思想： 用方程的思想解决其他类型的数学问题。
• 函数： 方程和函数之间存在密切联系，是进一步学习函数的基础。
• 不等式： 与方程类似，不等式也是刻画数量关系的一种数学模型。