《数学八上思维导图》

I. 实数

A. 概念

• 1. 定义：
  • 有理数和无理数的统称。
  • 可以用数轴上的点表示的数。
• 2. 分类：
  • 按定义分： 实数 { 有理数, 无理数 }
  • 按正负分： 实数 { 正实数, 0, 负实数 }
• 3. 实数与数轴： 一一对应关系。

B. 有理数

• 1. 定义：
  • 可以表示成两个整数之比的数（p/q, q≠0）。
• 2. 分类：
  • 整数 { 正整数, 0, 负整数 }
  • 分数 { 正分数, 负分数 }
• 3. 运算： 加、减、乘、除、乘方（遵循运算律）。
• 4. 运算法则：
  • 加法：同号相加，异号相减，绝对值大的符号为结果符号。
  • 减法：减去一个数等于加上这个数的相反数。
  • 乘法：同号得正，异号得负，绝对值相乘。
  • 除法：除以一个数等于乘以这个数的倒数。

C. 无理数

• 1. 定义：
  • 无限不循环小数。
  • 不能表示成两个整数之比的数。
• 2. 常见类型：
  • 无限不循环小数 (如：π, e)
  • 含有开不尽方的数 (如：√2, √3)
  • 结构特殊的无限小数 (如：0.1010010001...)
• 3. 运算：
  • 通常保留近似值进行计算。

D. 平方根、立方根

• 1. 平方根：
  • 定义： 如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。
  • 表示： ±√a （a≥0）
  • 性质： 正数有两个平方根，互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
  • 算术平方根： 正的平方根，表示为 √a （a≥0）。
• 2. 立方根：
  • 定义： 如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根。
  • 表示： ∛a
  • 性质： 正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。

II. 整式的乘除与因式分解

A. 幂的运算

• 1. 同底数幂的乘法： a^m * aⁿ = a^m+n
• 2. 幂的乘方： (a^m)ⁿ = a^mn
• 3. 积的乘方： (ab)ⁿ = aⁿbⁿ
• 4. 同底数幂的除法： a^m / aⁿ = a^m-n (a≠0)
• 5. 零指数幂： a⁰ = 1 (a≠0)
• 6. 负指数幂： a^-n = 1/aⁿ (a≠0)

B. 整式的乘法

• 1. 单项式乘以单项式： 系数相乘，相同字母的幂相乘，其余照抄。
• 2. 单项式乘以多项式： 分配律，转化为单项式乘以单项式。
• 3. 多项式乘以多项式： (a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd

C. 整式的除法

• 1. 单项式除以单项式： 系数相除，相同字母的幂相除，其余照抄。
• 2. 多项式除以单项式： 分配律，转化为单项式除以单项式。

D. 乘法公式

• 1. 平方差公式： (a+b)(a-b) = a² - b²
• 2. 完全平方公式： (a+b)² = a² + 2ab + b²; (a-b)² = a² - 2ab + b²

E. 因式分解

• 1. 定义： 把一个多项式化为几个整式的积的形式。
• 2. 方法：
  • 提取公因式法： ma + mb + mc = m(a+b+c)
  • 公式法：
    • 平方差公式：a² - b² = (a+b)(a-b)
    • 完全平方公式：a² + 2ab + b² = (a+b)²; a² - 2ab + b² = (a-b)²
  • 分组分解法： 将多项式适当分组，然后提取公因式或运用公式。
• 3. 注意事项：
  • 分解要彻底，直到不能分解为止。
  • 先提取公因式，再考虑公式法。

III. 分式

A. 概念

• 1. 定义： 形如 A/B 的式子，其中 A, B 是整式，且 B 中含有字母，B≠0。
• 2. 分式有意义的条件： 分母不等于零。
• 3. 分式值为零的条件： 分子等于零，且分母不等于零。

B. 分式的基本性质

• 1. 公式： A/B = (AC)/(BC) = (A/C)/(B/C) (C≠0)
• 2. 应用： 约分和通分。

C. 分式的运算

• 1. 分式的乘除法：
  • 乘法：A/B C/D = (AC)/(B*D)
  • 除法：A/B ÷ C/D = A/B D/C = (AD)/(B*C)
• 2. 分式的加减法：
  • 同分母：A/C + B/C = (A+B)/C; A/C - B/C = (A-B)/C
  • 异分母：先通分，再加减。
• 3. 混合运算： 按照运算顺序进行。

D. 整数指数幂

• 1. 复习负整数指数幂： a^-n = 1/aⁿ (a≠0, n是正整数)
• 2. 科学计数法： 将一个数表示成 a × 10ⁿ 的形式，其中 1 ≤ |a| < 10，n 为整数。

E. 分式方程

• 1. 定义： 分母中含有未知数的方程。
• 2. 解法：
  • 去分母，化为整式方程。
  • 解整式方程。
  • 验根（必须验根！），看是否为增根，增根要舍去。
• 3. 增根： 使分母为零的根。
• 4. 应用：
  • 列分式方程解决实际问题。

IV. 三角形

A. 与三角形有关的线段

• 1. 三角形的定义： 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形。
• 2. 三角形的分类：
  • 按角分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
  • 按边分：不等边三角形、等腰三角形 (包括等边三角形)。
• 3. 三角形的三边关系： 任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
• 4. 三角形的重要线段：
  • 中线： 连接顶点和对边中点的线段。
  • 高线： 从顶点向对边作垂线，顶点到垂足之间的线段。
  • 角平分线： 平分三角形内角的射线与对边相交，顶点与交点之间的线段。

B. 与三角形有关的角

• 1. 三角形的内角和： 180°
• 2. 三角形的外角： 三角形的一边与另一边的延长线所组成的角。
• 3. 三角形的外角性质：
  • 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
  • 三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角。

C. 多边形及其内角和

• 1. 多边形的定义： 由在同一平面内的一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形。
• 2. 正多边形： 各边相等，各角也相等的多边形。
• 3. 多边形的内角和： (n-2) × 180° (n为边数)
• 4. 多边形的外角和： 360°

V. 全等三角形

A. 全等三角形的定义与性质

• 1. 全等三角形的定义： 能够完全重合的两个三角形。
• 2. 全等三角形的性质： 对应边相等，对应角相等。
• 3. 全等符号： ≌

B. 全等三角形的判定

• 1. SSS： 三边对应相等的两个三角形全等。
• 2. SAS： 两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。
• 3. ASA： 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。
• 4. AAS： 两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等。
• 5. HL： 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。（仅适用于直角三角形）

C. 角平分线的性质

• 1. 角平分线的性质： 角平分线上的点到角的两边的距离相等。
• 2. 角平分线的判定： 到角的两边距离相等的点在角平分线上。

VI. 轴对称

A. 轴对称图形

• 1. 定义： 如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。

B. 轴对称的性质

• 1. 定义： 如果两个图形沿一条直线折叠后能够完全重合，那么这两个图形叫做关于这条直线对称（轴对称）。
• 2. 性质：
  • 对应点到对称轴的距离相等。
  • 对应线段相等，对应角相等。
  • 对称轴是对应点连线的垂直平分线。

C. 等腰三角形

• 1. 定义： 有两条边相等的三角形。
• 2. 性质：
  • 等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）。
  • 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）。
• 3. 判定：
  • 有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）。

D. 等边三角形

• 1. 定义： 三条边都相等的三角形。
• 2. 性质：
  • 等边三角形的三个内角都相等，都等于60°。
  • 等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴。
• 3. 判定：
  • 三个角都相等的三角形是等边三角形。
  • 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

E. 线段的垂直平分线

• 1. 定义： 垂直于一条线段并且平分这条线段的直线。
• 2. 性质：
  • 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
• 3. 判定：
  • 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

上一个主题： 西游记思维导图 下一个主题： 武松打虎思维导图