《小数计算思维导图》
一、小数的意义与性质
1.1 小数的意义
1.1.1 定义：
- 表示十分之几、百分之几、千分之几……的数。
- 是分数的另一种表现形式。
1.1.2 小数的组成：
- 整数部分：小数点左边的数字。
- 小数点：区分整数部分和小数部分。
- 小数部分：小数点右边的数字。
1.1.3 计数单位：
- 十分位：0.1
- 百分位：0.01
- 千分位：0.001
- ...依此类推
1.2 小数的性质
1.2.1 小数的基本性质：
- 在小数的末尾添上“0”或者去掉“0”，小数的大小不变。
- 例如：0.2 = 0.20 = 0.200
1.2.2 小数点移动的规律：
- 向右移动一位，小数扩大到原来的10倍。
- 向右移动两位，小数扩大到原来的100倍。
- 向右移动三位，小数扩大到原来的1000倍。
- 向左移动一位，小数缩小到原来的1/10。
- 向左移动两位，小数缩小到原来的1/100。
- 向左移动三位，小数缩小到原来的1/1000。
1.3 小数的分类
1.3.1 有限小数：
- 小数部分的位数是有限的。
- 例如：3.14, 0.5, 1.25
1.3.2 无限小数：
-
小数部分的位数是无限的。
-
循环小数： 从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现的小数。
- 纯循环小数：循环节从小数点后第一位开始。
- 混循环小数：循环节不是从小数点后第一位开始。
-
无限不循环小数： 小数部分的位数是无限的，并且没有任何规律的小数。
- 例如：圆周率π
-
1.4 小数与分数、百分数的互化
1.4.1 小数化分数：
- 看有几位小数，就在1后面添几个0做分母，小数部分的数做分子，能约分的要约分。
- 例如：0.5 = 5/10 = 1/2, 0.25 = 25/100 = 1/4
1.4.2 分数化小数：
- 分母是10, 100, 1000…的分数，可以直接写成小数。
- 其他分数，用分子除以分母，除不尽时，按要求保留小数位数。
1.4.3 小数化百分数：
- 把小数点向右移动两位，同时添上百分号。
- 例如：0.35 = 35%
1.4.4 百分数化小数：
- 去掉百分号，同时把小数点向左移动两位。
- 例如：75% = 0.75
二、小数的加法和减法
2.1 竖式计算
2.1.1 对齐：
- 小数点对齐，也就是相同数位对齐。
2.1.2 计算：
- 从最低位开始计算。
- 加法：满十向前一位进一。
- 减法：不够减向前一位借一。
2.1.3 验算：
- 加法：交换加数的位置，再算一遍。
- 减法：用差加上减数，看是否等于被减数。
2.2 简便运算
2.2.1 加法交换律：
- a + b = b + a
2.2.2 加法结合律：
- (a + b) + c = a + (b + c)
2.2.3 减法的性质：
- a - b - c = a - (b + c)
- a - (b - c) = a - b + c
2.3 应用题
2.3.1 审题：
- 明确已知条件和所求问题。
2.3.2 分析数量关系：
- 找出题中的等量关系。
2.3.3 列式计算：
- 根据数量关系列出算式。
2.3.4 检验：
- 检查计算是否正确，答案是否符合题意。
三、小数的乘法
3.1 竖式计算
3.1.1 计算方法：
- 先按照整数乘法的方法算出积。
- 看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。
- 积的小数部分末尾有0，一般要把0去掉。
3.2 简便运算
3.2.1 乘法交换律：
- a × b = b × a
3.2.2 乘法结合律：
- (a × b) × c = a × (b × c)
3.2.3 乘法分配律：
- (a + b) × c = a × c + b × c
- (a - b) × c = a × c - b × c
3.3 应用题
3.3.1 单价 × 数量 = 总价
3.3.2 路程 = 速度 × 时间
四、小数的除法
4.1 除数是整数的小数除法
4.1.1 计算方法：
- 按照整数除法的方法去除。
- 商的小数点要和被除数的小数点对齐。
- 如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添0再继续除。
4.2 除数是小数的小数除法
4.2.1 计算方法：
- 先移动除数的小数点，使它变成整数。
- 除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位，位数不够的，在被除数的末尾用“0”补足。
- 然后按照除数是整数的小数除法进行计算。
4.3 商的近似数
4.3.1 四舍五入法：
- 看要保留的位数的下一位，小于5舍去，大于等于5入1。
4.3.2 进一法：
- 即使尾数小于5，也要向前一位进1。 （通常用于解决实际问题，如需要多少个容器等）
4.3.3 去尾法：
- 即使尾数大于等于5，也要舍去。（通常用于解决实际问题，如最多可以做多少个产品等）
4.4 循环小数
4.4.1 定义：
- 一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。
4.4.2 循环节：
- 在循环小数中，依次不断重复出现的数字叫做循环节。
4.4.3 简写形式：
- 在循环节的首位和末位数字上各记一个圆点。
4.5 应用题
4.5.1 总价 ÷ 数量 = 单价
4.5.2 路程 ÷ 时间 = 速度
五、混合运算
5.1 运算顺序
5.1.1 无括号：
- 先乘除，后加减。
5.1.2 有括号：
- 先算括号里面的，再算括号外面的。
5.2 简便运算
5.2.1 运用运算定律进行简便计算。
5.3 解决问题
5.3.1 综合运用小数的加减乘除知识解决实际问题。
通过以上思维导图，我们可以系统地梳理小数计算的各个方面，掌握小数的意义、性质和计算方法，并能灵活运用解决实际问题。