《关于小数的思维导图》

一、小数的概念

1. 定义

• 表示比整数小的数
• 是分数的另一种表示形式 (分母是10的幂)

2. 组成

• 整数部分： 小数点左边的部分
• 小数点： 连接整数部分和小数部分
• 小数部分： 小数点右边的部分

3. 意义

• 表示十分之几、百分之几、千分之几...
• 将一个整体平均分成10份、100份、1000份... 取其中的几份

4. 读法和写法

• 读法：
  • 整数部分按照整数的读法读
  • 小数点读作“点”
  • 小数部分依次读出每一个数字
  • 例如：3.14 读作 三点一四
• 写法：
  • 先写整数部分，再写小数点，最后写小数部分
  • 注意：小数点要写清楚，不要太大或太小

5. 分类

• 按小数部分长度分：

  • 有限小数： 小数部分位数是有限的
    • 例如： 0.5, 3.14, 12.345
  • 无限小数： 小数部分位数是无限的
    • 无限循环小数： 小数部分从某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现。
      • 例如：0.333..., 1.428571428571...
    • 无限不循环小数： 小数部分位数是无限的，且不循环。
      • 例如：圆周率π = 3.1415926...

• 按小数部分是否为0分：

  • 纯小数： 整数部分为0的小数
    • 例如：0.25, 0.7
  • 带小数： 整数部分不为0的小数
    • 例如：1.5, 10.2

二、小数的性质

1. 基本性质

• 小数的末尾添上“0”或者去掉“0”，小数的大小不变。
  • 例如： 0.2 = 0.20 = 0.200

2. 应用

• 化简小数： 去掉小数末尾的“0”
  • 例如： 3.500 化简为 3.5
• 改写小数： 根据需要，在小数末尾添“0”，使小数的位数相同，方便比较大小和计算。
  • 例如： 3.5 改写成 3.50 或 3.500
• 不改变数的大小，把一个整数改写成指定位数的小数： 在整数的右下角点上小数点，然后添上足够多的0。
  • 例如： 5 改写成一位小数是 5.0，改写成两位小数是 5.00

三、小数的大小比较

1. 方法

• 先比较整数部分： 整数部分大的数就大。
• 整数部分相同，就比较十分位： 十分位上的数大的数就大。
• 十分位相同，就比较百分位： 百分位上的数大的数就大。
• 以此类推，直到比较出大小。
• 注意： 先把位数不同的小数，利用小数的性质补“0”使其位数相同，再进行比较。

四、小数的运算

1. 加法和减法

• 计算法则：
  • 小数点对齐（也就是相同数位对齐）
  • 按照整数加减法的法则进行计算
  • 得数的小数点要和横线上的小数点对齐
  • 结果能化简的要化简

2. 乘法

• 计算法则：
  • 按照整数乘法的法则进行计算
  • 看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点
  • 如果积的小数部分末尾有0，要去掉末尾的0
  • 注意：小数乘整数时，按整数乘法计算，然后看因数中有几位小数，就从积的右边数出几位，点上小数点。

3. 除法

• 除数是整数的小数除法：
  • 按照整数除法的法则进行计算
  • 商的小数点要和被除数的小数点对齐
  • 如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添0再继续除。
• 除数是小数的除法：
  • 先移动除数的小数点，使它变成整数；除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的，在被除数的末尾用“0”补足）。
  • 然后按照除数是整数的小数除法进行计算。
• 循环小数的商的处理：
  • 根据需要，按“四舍五入”法取近似值。

4. 简便运算

• 整数的运算定律和性质，对于小数同样适用
• 常见的简便运算方法：
  • 加法交换律和结合律
  • 乘法交换律和结合律
  • 乘法分配律

五、小数的应用

1. 单位换算

• 高级单位换算成低级单位： 乘以进率，小数点向右移动相应的位数。
• 低级单位换算成高级单位： 除以进率，小数点向左移动相应的位数。
• 例如：
  • 1米 = 10分米 = 100厘米 = 1000毫米
  • 1千克 = 1000克
  • 1吨 = 1000千克

2. 近似数

• 精确数： 实际测量的准确数值。
• 近似数： 根据实际需要，用“四舍五入”法或其他方法取近似值。
• 取近似值的方法：
  • 四舍五入法： 看要保留的位数的下一位，小于5就舍去，大于等于5就向前一位进1。
  • 进一法： 无论要舍去的位上是几，都向前一位进1。
  • 去尾法： 无论要舍去的位上是几，都舍去。
• 根据要求保留指定位数的小数： 例如，保留一位小数，保留两位小数等。

3. 解决实际问题

• 将小数应用于实际生活中的各种问题，例如：
  • 购物问题
  • 测量问题
  • 计算面积、体积问题
  • 平均数问题

六、 小数与分数的关系

1. 互化

• 小数化分数： 看有几位小数，就在1后面添几个0做分母，原来的小数去掉小数点做分子，能约分的要约分。
• 分数化小数： 用分子除以分母，除不尽时，根据需要保留几位小数。 特殊地，分母是10, 100, 1000...的分数可以直接写成小数。

2. 意义

• 小数和分数都是表示一个数，只是形式不同。
• 有些分数可以化成有限小数，有些分数只能化成无限循环小数。

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