《有理数思维导图手抄报》

一、有理数的概念

中心主题：有理数

• 定义： 整数和分数的统称。 任何一个有理数都可以写成分数 p/q 的形式，其中 p,q 都是整数且 q≠0。

• 分类：

  • 按定义分：

    • 整数：正整数、零、负整数
    • 分数：正分数、负分数

  • 按性质分：

    • 正有理数：正整数、正分数
    • 零： 0
    • 负有理数：负整数、负分数

• 关键概念：

  • 正数： 大于0的数。
  • 负数： 小于0的数。通常在正数前面加上“-”号。
  • 0： 既不是正数，也不是负数。是正数与负数的分界点。
  • 数轴： 规定了原点、正方向和单位长度的直线。 数轴上的点与有理数一一对应。
    • 原点： 数轴上表示0的点。
    • 正方向： 数轴上箭头所指的方向。
    • 单位长度： 数轴上相邻两点间的距离。
  • 相反数： 只有符号不同的两个数。 a的相反数是-a，特别的，0的相反数是0。 在数轴上，表示互为相反数的两个点到原点的距离相等。
  • 绝对值： 数轴上表示数a的点与原点的距离，记作|a|。
    • |a| = a (当a≥0时)
    • |a| = -a (当a<0时)
    • |a| ≥ 0 恒成立

二、有理数的运算

中心主题：有理数的运算

• 运算种类：

  • 加法
  • 减法
  • 乘法
  • 除法
  • 乘方

• 运算法则：

  • 加法：

    • 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
    • 异号两数相加，绝对值相等时，和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
    • 任何数同0相加，仍得这个数。

  • 减法：

    • 减去一个数，等于加上这个数的相反数。 即 a - b = a + (-b)

  • 乘法：

    • 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
    • 任何数同0相乘，都得0。
    • 多个非0数相乘，积的符号由负因数的个数决定。负因数有偶数个时，积为正；负因数有奇数个时，积为负。

  • 除法：

    • 除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数。 即 a ÷ b = a × (1/b) (b≠0)
    • 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
    • 0除以任何一个不等于0的数，都得0。

  • 乘方：

    • 求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。 记作 an。
    • 正数的任何次幂都是正数。
    • 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。
    • 0的任何正整数次幂都是0。

• 运算律：

  • 加法交换律： a + b = b + a
  • 加法结合律： (a + b) + c = a + (b + c)
  • 乘法交换律： a × b = b × a
  • 乘法结合律： (a × b) × c = a × (b × c)
  • 乘法分配律： a × (b + c) = a × b + a × c

• 运算顺序：

  • 先算乘方，再算乘除，最后算加减。
  • 同级运算，从左到右依次进行。
  • 如有括号，先算括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。

三、有理数的应用

中心主题：有理数的应用

• 数轴的应用：

  • 比较有理数的大小：数轴上右边的数总比左边的数大。
  • 求解与绝对值相关的问题：如 |x-a| + |x-b| 的最小值等。
  • 表示实际问题中的数量关系。

• 实际问题的应用：

  • 用正负数表示具有相反意义的量：如盈利与亏损、上升与下降、增加与减少等。
  • 温度的表示：零上温度用正数表示，零下温度用负数表示。
  • 海拔高度的表示：海平面以上的高度用正数表示，海平面以下的高度用负数表示。
  • 方位的表示：东、南、西、北方向可以用正负数表示。
  • 行程问题：规定一个方向为正方向，相反方向为负方向。

• 科学计数法：

  • 把一个大于10的数表示成 a × 10n 的形式，其中1≤|a|<10，n为正整数。 用于表示较大的数。

• 近似数与有效数字：

  • 近似数： 接近准确数但与准确数略有差别的数。
  • 有效数字： 从左边第一个不是0的数字起，到末位数字为止的所有数字。 近似数的有效数字越多，精确度越高。

四、注意事项

• 符号问题： 在运算过程中，要特别注意符号的确定。 尤其是负数的运算。
• 运算顺序： 必须严格按照运算顺序进行计算，否则容易出错。
• 化简： 运算结果能化简的要化简到最简形式。
• 实际意义： 在解决实际问题时，要理解题意，正确地用有理数表示数量关系。
• 数形结合： 善于利用数轴，将抽象的数和直观的图形结合起来，有助于理解和解决问题。

五、例子

• 计算：(-3) + 5 = 2
• 计算：(-2) × (-4) = 8
• 计算：10 ÷ (-2) = -5
• 解方程：|x - 1| = 3 => x = 4 或 x = -2
• 某商店盈利500元记作+500元，亏损200元记作-200元。
• 将1200000用科学计数法表示为1.2×106

通过以上思维导图，可以清晰地了解有理数的概念、运算和应用，帮助更好地掌握这一知识点。