《数学选修一直线和圆的方程思维导图》
一、直线
1. 直线的方程
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1.1 斜截式方程：
- 方程形式：y = kx + b
- 参数含义：k (斜率), b (y轴截距)
- 适用范围：不包含斜率不存在的直线 (即垂直于x轴的直线)
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1.2 点斜式方程：
- 方程形式：y - y₀ = k(x - x₀)
- 参数含义：k (斜率), (x₀, y₀) (直线上的已知点)
- 适用范围：不包含斜率不存在的直线
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1.3 两点式方程：
- 方程形式：(y - y₁) / (y₂ - y₁) = (x - x₁) / (x₂ - x₁)
- 参数含义：(x₁, y₁), (x₂, y₂) (直线上的两个已知点，且x₁ ≠ x₂, y₁ ≠ y₂)
- 适用范围：不包含直线与x轴或y轴平行的情况
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1.4 截距式方程：
- 方程形式：x/a + y/b = 1
- 参数含义：a (x轴截距), b (y轴截距)
- 适用范围：不包含经过原点或与坐标轴平行的直线
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1.5 一般式方程：
- 方程形式：Ax + By + C = 0 (A, B不同时为0)
- 参数含义：A, B, C 为常数
- 适用范围：所有直线 (最常用且适用性最广)
- 斜率：k = -A/B (B ≠ 0)
- 截距：
- x轴截距：-C/A (A ≠ 0)
- y轴截距：-C/B (B ≠ 0)
2. 直线的位置关系
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2.1 平行：
- 斜率存在时：k₁ = k₂, b₁ ≠ b₂
- 一般式：A₁/A₂ = B₁/B₂ ≠ C₁/C₂
- 适用情况：平面内两条没有交点的直线
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2.2 重合：
- 斜率存在时：k₁ = k₂, b₁ = b₂
- 一般式：A₁/A₂ = B₁/B₂ = C₁/C₂
- 适用情况：两条直线方程实际上表示的是同一条直线
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2.3 相交：
- 斜率存在时：k₁ ≠ k₂
- 一般式：A₁/A₂ ≠ B₁/B₂
- 适用情况：两条直线有且只有一个交点
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2.4 垂直：
- 斜率存在时：k₁ * k₂ = -1
- 一般式：A₁A₂ + B₁B₂ = 0
- 适用情况：两条直线相交且交角为90度
3. 距离公式
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3.1 点到点的距离：
- 公式：d = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²]
- 参数含义：(x₁, y₁), (x₂, y₂) (两点的坐标)
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3.2 点到直线的距离：
- 公式：d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²)
- 参数含义：(x₀, y₀) (点的坐标), Ax + By + C = 0 (直线方程)
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3.3 两平行线间的距离：
- 公式：d = |C₁ - C₂| / √(A² + B²)
- 参数含义：Ax + By + C₁ = 0, Ax + By + C₂ = 0 (两平行直线方程，注意A和B必须相同)
4. 倾斜角与斜率
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4.1 倾斜角：
- 定义：直线向上方向与x轴正方向所成的最小正角
- 取值范围：[0, π)
- 当倾斜角为90°时，斜率不存在
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4.2 斜率：
- 定义：倾斜角的正切值，k = tanα
- 公式：k = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) (x₁ ≠ x₂)
- 含义：表示直线相对于x轴的倾斜程度
二、圆的方程
1. 圆的标准方程
- 方程形式：(x - a)² + (y - b)² = r²
- 参数含义：(a, b) (圆心坐标), r (半径)
2. 圆的一般方程
- 方程形式：x² + y² + Dx + Ey + F = 0
- 成立条件：D² + E² - 4F > 0
- 圆心坐标：(-D/2, -E/2)
- 半径：r = √(D² + E² - 4F) / 2
3. 点与圆的位置关系
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3.1 点在圆内：
- (x₀ - a)² + (y₀ - b)² < r² （标准方程）
- x₀² + y₀² + Dx₀ + Ey₀ + F < 0 （一般方程）
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3.2 点在圆上：
- (x₀ - a)² + (y₀ - b)² = r² （标准方程）
- x₀² + y₀² + Dx₀ + Ey₀ + F = 0 （一般方程）
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3.3 点在圆外：
- (x₀ - a)² + (y₀ - b)² > r² （标准方程）
- x₀² + y₀² + Dx₀ + Ey₀ + F > 0 （一般方程）
4. 直线与圆的位置关系
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4.1 相交：
- 几何方法：圆心到直线的距离 d < r
- 代数方法：联立直线和圆的方程，所得方程的判别式 Δ > 0
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4.2 相切：
- 几何方法：圆心到直线的距离 d = r
- 代数方法：联立直线和圆的方程，所得方程的判别式 Δ = 0
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4.3 相离：
- 几何方法：圆心到直线的距离 d > r
- 代数方法：联立直线和圆的方程，所得方程的判别式 Δ < 0
5. 圆与圆的位置关系
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5.1 外离：
- d > R + r （d为两圆心距，R,r分别为两圆半径）
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5.2 外切：
- d = R + r
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5.3 相交：
- |R - r| < d < R + r
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5.4 内切：
- d = |R - r|
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5.5 内含：
- d < |R - r|
6. 圆的切线
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6.1 已知圆上一点求切线：
- 方法一：求出圆心与该点连线的斜率，进而求出切线的斜率（垂直关系），利用点斜式求切线方程
- 方法二：如果圆的方程是(x-a)² + (y-b)² = r²，点是(x₀, y₀)，则切线方程为(x₀-a)(x-a) + (y₀-b)(y-b) = r²
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6.2 已知圆外一点求切线：
- 通常设切线斜率为k，利用点斜式方程，然后利用圆心到直线的距离等于半径，求出k的值。可能存在斜率不存在的情况，需要单独验证。
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6.3 切线方程的常用方法：
- 几何法：利用圆的几何性质，如半径、切线垂直等。
- 代数法：联立直线和圆的方程，利用判别式等于零来求切线方程。