《高一数学必修一函数思维导图大全》

一、集合与常用逻辑用语

1. 集合的概念与运算

• 1.1 集合的概念

  • 定义: 一些确定的、互异的、无序的对象构成一个集合
  • 表示方法:
    • 列举法: {a, b, c, ...}
    • 描述法: {x | p(x)}
    • 图像法 (Venn 图)
  • 元素与集合的关系:
    • 属于 ∈
    • 不属于 ∉
  • 集合的分类:
    • 有限集
    • 无限集
    • 空集 ∅

• 1.2 集合间的基本关系

  • 子集: A ⊆ B (A 的所有元素都属于 B)
  • 真子集: A ⊂ B (A ⊆ B 且 A ≠ B)
  • 相等: A = B (A ⊆ B 且 B ⊆ A)
  • 空集: ∅ 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集

• 1.3 集合的基本运算

  • 并集: A ∪ B = {x | x ∈ A 或 x ∈ B}
  • 交集: A ∩ B = {x | x ∈ A 且 x ∈ B}
  • 补集: ∁UA = {x | x ∈ U 且 x ∉ A} (U 为全集)
  • 运算性质:
    • A ∪ ∅ = A
    • A ∩ ∅ = ∅
    • A ∪ A = A
    • A ∩ A = A
    • A ∪ ∁UA = U
    • A ∩ ∁UA = ∅

2. 常用逻辑用语

• 2.1 命题及其关系

  • 命题: 可以判断真假的语句
  • 真命题/假命题
  • 简单命题/复合命题
  • 逻辑联结词:
    • 或 (∨): p∨q, 只要 p 或 q 为真，p∨q 就为真
    • 且 (∧): p∧q, p 和 q 都为真，p∧q 才为真
    • 非 (¬): ¬p, p 为真，¬p 为假；p 为假，¬p 为真
  • 四种命题及其关系:
    • 原命题: 若 p 则 q
    • 逆命题: 若 q 则 p
    • 否命题: 若 ¬p 则 ¬q
    • 逆否命题: 若 ¬q 则 ¬p
    • 原命题与逆否命题等价
    • 逆命题与否命题等价

• 2.2 量词

  • 全称量词: ∀ (任意，所有)
    • 全称命题: ∀x ∈ A, p(x)
  • 存在量词: ∃ (存在，至少有一个)
    • 存在命题: ∃x ∈ A, p(x)
  • 全称命题的否定: ¬(∀x ∈ A, p(x)) ≡ ∃x ∈ A, ¬p(x)
  • 存在命题的否定: ¬(∃x ∈ A, p(x)) ≡ ∀x ∈ A, ¬p(x)

• 2.3 充分条件与必要条件

  • p 是 q 的充分条件: p ⇒ q
  • p 是 q 的必要条件: q ⇒ p
  • p 是 q 的充要条件: p ⇔ q

二、函数概念与基本初等函数I (指数函数、对数函数)

1. 函数的概念与性质

• 1.1 函数的概念

  • 定义: 设 A, B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x) 和它对应，那么就称 f: A → B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作 y = f(x), x ∈ A
  • 定义域: A
  • 值域: {y | y = f(x), x ∈ A}
  • 函数相等: 定义域相同且对应关系相同

• 1.2 函数的表示方法

  • 解析式法
  • 列表法
  • 图像法

• 1.3 函数的性质

  • 单调性:
    • 单调递增: 若 x1 < x2, 则 f(x1) < f(x2)
    • 单调递减: 若 x1 < x2, 则 f(x1) > f(x2)
    • 利用定义证明单调性：取值、作差、变形、定号、下结论
  • 奇偶性:
    • 偶函数: f(-x) = f(x) (图像关于 y 轴对称)
    • 奇函数: f(-x) = -f(x) (图像关于原点对称)
    • 定义域关于原点对称
    • 若奇函数在x=0处有定义，则f(0)=0
  • 周期性: f(x + T) = f(x) (T > 0)

2. 基本初等函数I

• 2.1 指数函数

  • 定义: y = ax (a > 0, a ≠ 1)
  • 图像及性质:
    • 过定点 (0, 1)
    • a > 1 时，单调递增
    • 0 < a < 1 时，单调递减
    • 值域: (0, +∞)

• 2.2 对数函数

  • 定义: y = logax (a > 0, a ≠ 1)
  • 图像及性质:
    • 过定点 (1, 0)
    • a > 1 时，单调递增
    • 0 < a < 1 时，单调递减
    • 值域: (-∞, +∞)
  • 对数恒等式: alogax = x
  • 对数运算性质:
    • loga(MN) = logaM + logaN
    • loga(M/N) = logaM - logaN
    • logaMn = nlogaM
  • 换底公式: logab = logcb / logca

• 2.3 幂函数

  • 定义: y = xα (α ∈ R)
  • 常见幂函数图像及性质: y = x, y = x2, y = x3, y = x1/2, y = x-1 (需要掌握图像特征，定义域，值域，奇偶性，单调性)

• 2.4 函数的应用

  • 零点存在性定理: 若 f(a)f(b) < 0，则在 (a, b) 上至少存在一个零点
  • 二分法求方程的近似解
  • 函数模型的应用: 指数增长，对数增长等

三、函数模型及其应用

1. 函数的图像

• 1.1 描点法
• 1.2 图像变换
  • 平移变换: y = f(x) → y = f(x ± a), y = f(x) → y = f(x) ± b
  • 伸缩变换: y = f(x) → y = Af(x), y = f(x) → y = f(ωx)
  • 对称变换:
    • 关于 x 轴对称: y = -f(x)
    • 关于 y 轴对称: y = f(-x)
    • 关于原点对称: y = -f(-x)

2. 函数模型的建立

• 2.1 实际问题抽象为函数模型
• 2.2 常见函数模型
  • 一次函数模型
  • 二次函数模型
  • 指数函数模型
  • 对数函数模型
  • 幂函数模型

3. 函数模型的应用

• 3.1 利用函数模型解决实际问题
• 3.2 增长率问题
• 3.3 最优化问题 (如成本最低，利润最大等)

这些思维导图涵盖了高一数学必修一的核心知识点，通过整理和理解这些内容，可以更好地掌握函数的概念、性质和应用。