高一数学一元二次函数方程和不等式思维导图
《高一数学一元二次函数方程和不等式思维导图》
I. 一元二次函数
A. 定义与一般形式
- 定义： 形如
f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0) 的函数
- 一般形式：
f(x) = ax² + bx + c
a：二次项系数 (决定开口方向和大小)b：一次项系数c：常数项
B. 图象与性质
- 图象： 抛物线
- 开口方向：
a > 0：开口向上，有最小值a < 0：开口向下，有最大值
- 对称轴：
x = -b / 2a
- 顶点：
(-b / 2a, (4ac - b²) / 4a) 或 (-b / 2a, f(-b / 2a))
- 与y轴的交点：
(0, c)
- 与x轴的交点： 抛物线与 x 轴的交点，即方程
ax² + bx + c = 0 的根
- 顶点式：
f(x) = a(x - h)² + k，其中 (h, k) 是顶点坐标， h = -b/2a, k = (4ac - b²)/4a
- 零点式/交点式:
f(x) = a(x - x₁)(x - x₂)，其中 x₁ 和 x₂ 是方程 ax² + bx + c = 0 的根
- 增减性：
a > 0：对称轴左侧递减，对称轴右侧递增a < 0：对称轴左侧递增，对称轴右侧递减
- 最值：
a > 0：有最小值 k = (4ac - b²) / 4a，当 x = -b / 2a 时取得a < 0：有最大值 k = (4ac - b²) / 4a，当 x = -b / 2a 时取得
- 图像变换:
- 平移: 左右平移改变顶点横坐标，上下平移改变顶点纵坐标
- 伸缩：改变 a 的值
C. 函数值域
- 求法：
- 配方法： 将函数转化为顶点式
f(x) = a(x - h)² + k，利用顶点坐标和开口方向确定值域
- 公式法： 利用顶点坐标公式
(4ac - b²) / 4a 确定值域
- 数形结合： 画出函数图象，观察图象的最高点和最低点
- 值域：
a > 0：[ (4ac - b²) / 4a, +∞) 或 [k, +∞)a < 0：(-∞, (4ac - b²) / 4a] 或 (-∞, k]
- 指定区间上的值域：
- 计算函数在区间端点的值
- 判断对称轴是否在区间内
- 确定顶点是否为最值点
- 结合开口方向，确定最大值和最小值
II. 一元二次方程
A. 定义与一般形式
- 定义： 形如
ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的方程
- 一般形式：
ax² + bx + c = 0
B. 判别式
- 判别式：
Δ = b² - 4ac
- 根的判别：
Δ > 0：方程有两个不相等的实数根Δ = 0：方程有两个相等的实数根Δ < 0：方程没有实数根 (有两个共轭复数根，高中阶段不深入研究)
C. 求根公式
- 求根公式：
x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a
D. 根与系数的关系 (韦达定理)
- 韦达定理：
x₁ + x₂ = -b / a (两根之和)x₁ * x₂ = c / a (两根之积)
- 应用：
- 已知两根求方程
- 求两根的对称式的值 (例如：x₁² + x₂²)
- 判断根的符号
E. 根的分布
- 讨论根的分布情况: 重点关注根与指定数值的关系
- 两根都大于某个数
- 两根都小于某个数
- 一根大于某个数，另一根小于某个数
- 两根在一个区间内
- 常用的方法:
- 判别式:
Δ
- 对称轴:
x = -b/2a
- 函数值:
f(x) 在特定点的取值
III. 一元二次不等式
A. 定义与一般形式
- 定义： 形如
ax² + bx + c > 0 或 ax² + bx + c < 0 (a ≠ 0) 的不等式
- 一般形式：
ax² + bx + c > 0 或 ax² + bx + c < 0 (或 ≥，≤)
B. 解法
- 化为标准形式： 将不等式化为
ax² + bx + c > 0 或 ax² + bx + c < 0，其中 a > 0
- 求根： 解方程
ax² + bx + c = 0，求出根 x₁ 和 x₂ (若 Δ < 0，则方程无实数根)
- 画图： 画出函数
y = ax² + bx + c 的图象 (抛物线)，根据开口方向和与 x 轴的交点确定解集
- 写出解集：
ax² + bx + c > 0：
Δ > 0：x < x₁ 或 x > x₂ (开口向上，取 x 轴上方的部分)Δ = 0：x ≠ x₁ (开口向上，除顶点外的所有 x 值)Δ < 0：x ∈ R (开口向上，整个 x 轴上方)
ax² + bx + c < 0：
Δ > 0：x₁ < x < x₂ (开口向上，取 x 轴下方的部分)Δ = 0：解集为空集 (开口向上，无 x 轴下方部分)Δ < 0：解集为空集 (开口向上，无 x 轴下方部分)
- 含有参数的一元二次不等式: 需要分类讨论参数的取值范围，特别是 a 的符号和
Δ 的符号
C. 应用
- 解简单不等式: 掌握基本解法
- 求参数范围: 根据不等式的解集反求参数
- 实际问题: 将实际问题转化为一元二次不等式问题
IV. 三者关系总结
- 一元二次函数、方程和不等式之间是密切相关的
- 方程是函数值为0的特殊情况，不等式是函数值大于或小于0的情况
- 通过函数图像可以直观地理解方程的根和不等式的解
- 判别式是连接三者的关键，可以判断方程根的情况，也可以用于解不等式
- 韦达定理可以简化计算，联系方程的根与系数
V. 易错点与注意事项
- 注意二次项系数
a 的符号，决定开口方向和不等式解集
- 判别式
Δ 的正负性，决定方程根的情况，影响不等式的解集
- 解不等式时，一定要先将二次项系数化为正数
- 区分不等式的解集是区间还是集合
- 含有参数的问题要进行分类讨论，考虑所有可能的情况
- 注意不等号的方向，决定解集的范围
- 根的分布问题需要结合判别式、对称轴和函数值进行综合分析
