《多边形的思维导图五上》

一、多边形的定义与认识

1. 定义

• 定义本质: 由三条或三条以上的线段依次首尾相连围成的封闭图形。
• 关键词:
  • 线段: 必须是直的线段，不能是曲线。
  • 依次首尾相连: 线段之间必须连接，不能有断开或者交叉的情况。
  • 封闭: 必须形成一个闭合的图形，不能有开口。
• 反例: 不是多边形的例子（开口图形，线段不连贯，曲线图形）
• 辨析: 强调多边形是由线段围成的封闭图形，与圆等曲线图形的区别。

2. 多边形的组成部分

• 边: 组成多边形的每一条线段。
• 顶点: 两条边的交点。
• 角: 两条边之间的夹角，也称内角。
• 对角线: 连接多边形不相邻的两个顶点的线段。
  • 重要性质：用于分割多边形，方便计算面积等。
  • 对角线条数计算： n边形从一个顶点出发可以画（n-3）条对角线，总共可以画 n(n-3)/2 条对角线。

3. 多边形的分类

• 按边数分类:
  • 三角形 (三边形)
  • 四边形 (四边形)
  • 五边形 (五边形)
  • 六边形 (六边形)
  • ... n边形 (n边形)
• 按角的大小分类:
  • 凸多边形: 多边形的任何一个内角都小于180°。
  • 凹多边形: 多边形至少有一个内角大于180°。 (五年级上册一般不深入讨论凹多边形)
• 特殊多边形:
  • 正多边形: 各边相等，各角也相等的多边形。
    • 正三角形 (等边三角形)
    • 正方形

二、三角形的深入研究

1. 三角形的定义与性质

• 定义复习: 由三条线段围成的封闭图形。
• 边的关系: 任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
  • 应用: 判断三条线段能否组成三角形。
• 角的关系:
  • 三角形内角和等于180°。
  • 直角三角形两个锐角之和等于90°。
  • 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。
  • 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。

2. 三角形的分类 (按角)

• 锐角三角形: 三个角都是锐角（小于90°）。
• 直角三角形: 有一个角是直角 (等于90°)。
  • 特殊性质: 直角三角形的两个锐角互余。
  • 斜边: 直角三角形中，直角所对的边称为斜边。
  • 直角边: 直角三角形中，另外两条边称为直角边。
• 钝角三角形: 有一个角是钝角 (大于90°，小于180°)。

3. 三角形的分类 (按边)

• 不等边三角形: 三条边都不相等。
• 等腰三角形: 有两条边相等。
  • 腰: 相等的两条边。
  • 底: 与腰不相等的那条边。
  • 顶角: 两腰所夹的角。
  • 底角: 底边上的两个角。
  • 性质: 等腰三角形的两个底角相等。等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）。
• 等边三角形: 三条边都相等 (也称正三角形)。
  • 性质: 三个角都相等，且都等于60°。

4. 三角形的高、中线和角平分线

• 高: 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。
  • 重点: 垂线段，垂直符号，顶点和垂足。
  • 一个三角形有三条高。
• 中线: 连接三角形的一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。
  • 重点: 中点，一条线段分成相等的两段。
  • 一个三角形有三条中线。
• 角平分线: 三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
  • 重点: 角的平分线，角分成两个相等的角。
  • 一个三角形有三条角平分线。

三、四边形的认识

1. 四边形的定义与性质

• 定义: 由四条线段依次首尾相连围成的封闭图形。
• 内角和: 四边形的内角和等于360°。

2. 平行四边形

• 定义: 两组对边分别平行的四边形。
• 性质:
  • 对边平行且相等。
  • 对角相等。
  • 邻角互补。
  • 对角线互相平分。
• 判定:
  • 两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
  • 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
  • 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
  • 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。

3. 长方形 (矩形)

• 定义: 有一个角是直角的平行四边形。
• 性质:
  • 具有平行四边形的所有性质。
  • 四个角都是直角。
  • 对角线相等。
• 判定:
  • 有一个角是直角的平行四边形是长方形。
  • 四个角都是直角的四边形是长方形。
  • 对角线相等的平行四边形是长方形。

4. 正方形

• 定义: 一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形。
• 性质:
  • 具有平行四边形、长方形、菱形的所有性质。
  • 四条边都相等。
  • 四个角都是直角。
  • 对角线相等且互相垂直平分。
  • 对角线平分每一组对角。
• 判定:
  • 一组邻边相等的长方形是正方形。
  • 一个角是直角的菱形是正方形。

5. 梯形

• 定义: 只有一组对边平行的四边形。
• 组成:
  • 上底: 较短的平行边。
  • 下底: 较长的平行边。
  • 腰: 不平行的两边。
  • 高: 上底和下底之间的距离。
• 分类:
  • 等腰梯形: 两腰相等的梯形。
    • 性质: 同一底上的两个角相等。
  • 直角梯形: 有一个角是直角的梯形。

6. 特殊四边形的关系

• 关系图:
  • 四边形 ⊃ 平行四边形 ⊃ 长方形, 菱形 ⊃ 正方形
  • 四边形 ⊃ 梯形

四、多边形的拓展应用

• 密铺: 用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺（或称镶嵌）。
  • 正多边形的密铺: 哪些正多边形可以单独密铺？哪些可以组合密铺？
  • 三角形、四边形一定能密铺。
• 多边形面积的计算: 将复杂多边形分割成简单多边形（三角形、矩形等），分别计算面积再求和。
• 生活中的应用: 建筑设计、艺术设计等。

这个思维导图涵盖了小学五年级上册关于多边形的主要内容，包括定义、性质、分类以及一些基本的应用。通过系统地梳理知识点，能够帮助学生更好地理解和掌握多边形的知识。

上一个主题： 西游记思维导图 下一个主题： 女娲补天思维导图简单又漂亮