《高一数学必修一第三章思维导图》

一、函数的基本性质

1.1 函数的单调性

• 1.1.1 单调函数的定义：
  • 定义：在某个区间内，函数图像上升（或下降）的特性。
  • 增函数：对于任意$x_1, x_2 \in I$，且$x_1 < x_2$，都有$f(x_1) < f(x_2)$。
  • 减函数：对于任意$x_1, x_2 \in I$，且$x_1 < x_2$，都有$f(x_1) > f(x_2)$。
  • 单调区间：函数单调的区间。
• 1.1.2 单调性的证明：
  • 定义法：
    • 步骤：
      • 任取$x_1, x_2 \in I$，且$x_1 < x_2$。
      • 计算$f(x_1) - f(x_2)$（或$f(x_2) - f(x_1)$）。
      • 判断差的符号。
      • 得出结论。
    • 注意：差的符号判断需要利用已知条件，如$x_1, x_2$的范围、函数的表达式等。
  • 导数法（导数大于0为增函数，小于0为减函数，高中阶段在函数章节不做重点要求，但可以作为解题思路）。
• 1.1.3 复合函数的单调性：
  • 同增异减原则：
    • 内层函数和外层函数都单调递增，则复合函数递增。
    • 内层函数和外层函数都单调递减，则复合函数递增。
    • 内层函数和外层函数一个递增一个递减，则复合函数递减。
  • 方法：由内向外逐层分析。

1.2 函数的奇偶性

• 1.2.1 奇偶函数的定义：
  • 定义：函数图像关于y轴或原点对称的特性。
  • 偶函数：定义域关于原点对称，且对于任意$x \in D$，都有$f(-x) = f(x)$。图像关于y轴对称。
  • 奇函数：定义域关于原点对称，且对于任意$x \in D$，都有$f(-x) = -f(x)$。图像关于原点对称。
  • 非奇非偶函数：既不满足奇函数，也不满足偶函数。
• 1.2.2 奇偶性的判断：
  • 定义法：
    • 首先判断定义域是否关于原点对称。
    • 计算$f(-x)$。
    • 判断$f(-x)$与$f(x)$的关系。
  • 图像法：观察图像是否关于y轴或原点对称。
• 1.2.3 奇偶函数的性质：
  • 奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性。
  • 偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性。
  • 如果奇函数$f(x)$在$x=0$处有定义，那么$f(0) = 0$。
  • 两个奇函数的和、差是奇函数，积、商是偶函数。
  • 两个偶函数的和、差、积、商是偶函数。
  • 一个奇函数和一个偶函数的积、商是奇函数。

1.3 函数的周期性

• 1.3.1 周期函数的定义：
  • 定义：函数图像重复出现的特性。
  • 周期：使$f(x+T) = f(x)$成立的最小正数T。
• 1.3.2 周期性的判断：
  • 直接给出周期：$f(x+T) = f(x)$。
  • 间接给出周期：
    • $f(x+a) = f(x+b)$，则$T = |a-b|$。
    • $f(x+a) = -f(x)$，则$T = 2a$。
    • $f(x+a) = \frac{1}{f(x)}$，则$T = 2a$。
    • $f(x+a) = -\frac{1}{f(x)}$，则$T = 4a$。
• 1.3.3 周期性的应用：
  • 求函数值：利用周期性将未知区间内的函数值转化为已知区间内的函数值。
  • 求函数的解析式：已知部分区间的解析式和周期，求整个函数的解析式。
  • 判断函数的单调性、奇偶性。

二、基本初等函数

2.1 指数函数

• 2.1.1 指数函数的定义：
  • 定义：$y = a^x$ (a > 0, a ≠ 1)。
  • 定义域：R。
  • 值域：(0, +∞)。
  • 图像：
    • a > 1：单调递增，图像过(0, 1)点。
    • 0 < a < 1：单调递减，图像过(0, 1)点。
• 2.1.2 指数函数的性质：
  • 过定点(0, 1)。
  • 在R上单调。
  • 值域为(0, +∞)。
• 2.1.3 指数函数的应用：
  • 比较大小。
  • 解指数方程和不等式。

2.2 对数函数

• 2.2.1 对数函数的定义：
  • 定义：$y = \log_a x$ (a > 0, a ≠ 1)。
  • 定义域：(0, +∞)。
  • 值域：R。
  • 图像：
    • a > 1：单调递增，图像过(1, 0)点。
    • 0 < a < 1：单调递减，图像过(1, 0)点。
• 2.2.2 对数函数的性质：
  • 过定点(1, 0)。
  • 在(0, +∞)上单调。
  • 值域为R。
• 2.2.3 对数恒等式和运算性质：
  • 对数恒等式：$a^{\log_a N} = N$
  • 运算性质：
    • $\log_a (MN) = \log_a M + \log_a N$
    • $\log_a (\frac{M}{N}) = \log_a M - \log_a N$
    • $\log_a M^n = n \log_a M$
• 2.2.4 换底公式：
  • $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$
• 2.2.5 对数函数的应用：
  • 比较大小。
  • 解对数方程和不等式。

2.3 幂函数

• 2.3.1 幂函数的定义：
  • 定义：$y = x^\alpha$ (α ∈ R)。
  • 定义域：根据α的值而定。
  • 值域：根据α的值而定。
  • 图像：根据α的值不同，图像各异。需要记住几种典型的幂函数的图像，例如$y=x$, $y=x^2$, $y=x^3$, $y=x^{-1}$, $y=x^{\frac{1}{2}}$。
• 2.3.2 幂函数的性质：
  • 过定点(1, 1)。
  • 在(0, +∞)上的单调性取决于α的值。
  • 记住五种常见幂函数图像的特征。

三、函数模型及其应用

3.1 函数与方程

• 3.1.1 函数零点的概念：
  • 零点：使$f(x) = 0$的x值。
  • 几何意义：函数图像与x轴的交点。
• 3.1.2 零点存在性定理：
  • 如果函数$f(x)$在区间$[a, b]$上连续，且$f(a) \cdot f(b) < 0$，则在区间$(a, b)$内至少存在一个零点。
• 3.1.3 二分法求零点：
  • 步骤：
    • 确定区间$[a, b]$，使$f(a) \cdot f(b) < 0$。
    • 求区间的中点$x_0 = \frac{a+b}{2}$。
    • 计算$f(x_0)$。
    • 如果$f(x_0) = 0$，则$x_0$是零点。
    • 如果$f(a) \cdot f(x_0) < 0$，则在区间$(a, x_0)$内存在零点，令$b = x_0$。
    • 如果$f(x_0) \cdot f(b) < 0$，则在区间$(x_0, b)$内存在零点，令$a = x_0$。
    • 重复以上步骤，直到区间长度足够小，例如$|a-b| < \epsilon$。
• 3.1.4 方程的根与函数的零点之间的关系：
  • 方程$f(x) = 0$的根就是函数$y = f(x)$的零点。

3.2 函数模型的应用

• 3.2.1 函数模型的选择：
  • 常见函数模型：
    • 一次函数：$y = kx + b$
    • 二次函数：$y = ax^2 + bx + c$
    • 指数函数：$y = a^x$
    • 对数函数：$y = \log_a x$
    • 幂函数：$y = x^\alpha$
  • 根据实际问题的情境，选择合适的函数模型。
• 3.2.2 函数模型的建立：
  • 理解题意，提取关键信息。
  • 确定自变量和因变量。
  • 建立函数关系式。
• 3.2.3 函数模型的求解：
  • 利用函数模型的性质，解决实际问题。
  • 例如：求最大值、最小值，解方程、不等式等。
• 3.2.4 增长速度的比较：
  • 在(0, +∞)上，随着x的增大，指数函数增长速度快于幂函数，幂函数增长速度快于对数函数，即 $a^x > x^n > \log_a x$ (a > 1, n > 0)。

四、总结与提升

• 熟练掌握函数的单调性、奇偶性、周期性的定义、判断方法和应用。
• 熟练掌握指数函数、对数函数、幂函数的定义、图像、性质和应用。
• 能够利用函数零点存在性定理和二分法求函数的零点。
• 能够根据实际问题，选择合适的函数模型，并解决实际问题。
• 注重数学思想的运用，例如：数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想。
• 多做练习，提高解题能力。

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