《数学七上思维导图》

一、有理数

1.1 正数与负数

• 概念：具有相反意义的量，正数大于0，负数小于0。
  • 表示：用“+”表示正数，用“-”表示负数，0既不是正数也不是负数。
  • 应用：表示温度、海拔、盈亏等。

1.2 有理数

• 定义：整数和分数的统称。
  • 分类：
    • 按定义分：
      • 整数：正整数、0、负整数
      • 分数：正分数、负分数
    • 按正负分：
      • 正有理数：正整数、正分数
      • 0
      • 负有理数：负整数、负分数
  • 数轴：
    • 概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线。
    • 要素：原点、正方向、单位长度。
    • 作用：表示数，比较大小。

1.3 相反数

• 概念：只有符号不同的两个数。
  • 性质：a的相反数是-a，a + (-a) = 0。
  • 表示：数轴上表示相反数的点到原点的距离相等。

1.4 绝对值

• 概念：数轴上表示数a的点与原点的距离。
  • 表示：|a|
  • 性质：
    • |a| ≥ 0
    • |a| = a (a ≥ 0)
    • |a| = -a (a < 0)
  • 应用：比较有理数的大小。

1.5 有理数的大小比较

• 数轴比较：数轴上右边的数总比左边的数大。
  • 绝对值比较：正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小。

1.6 有理数的加法

• 法则：
  • 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
  • 异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
  • 一个数同0相加，仍得这个数。
    • 运算律：
  • 交换律：a + b = b + a
  • 结合律：(a + b) + c = a + (b + c)

1.7 有理数的减法

• 法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
  • 注意：减法转化为加法后，按照加法法则进行运算。

1.8 有理数的乘法

• 法则：
  • 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
  • 任何数同0相乘，都得0。
    • 运算律：
  • 交换律：a × b = b × a
  • 结合律：(a × b) × c = a × (b × c)
  • 分配律：a × (b + c) = a × b + a × c

1.9 有理数的除法

• 法则：除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数。
  • 注意：除法转化为乘法后，按照乘法法则进行运算。
  • 0不能作除数。

1.10 有理数的乘方

• 概念：求n个相同因数的积的运算。
  • 表示：aⁿ，其中a是底数，n是指数，aⁿ是幂。
  • 法则：正数的任何次幂都是正数，负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数。
  • 注意：0的任何正整数次幂都是0。

1.11 科学计数法

• 表示：将一个大于10的数表示成 a × 10ⁿ 的形式，其中 1 ≤ |a| < 10，n是正整数。

1.12 近似数与有效数字

• 近似数：与准确数很接近的数。
  • 有效数字：从左边第一个不是0的数字起，到末位数字止，所有的数字都叫做这个近似数的有效数字。

1.13 有理数的混合运算

• 顺序：先乘方，再乘除，后加减；有括号的先算括号里面的。

二、整式的加减

2.1 代数式

• 定义：用运算符号把数和表示数的字母连接而成的式子。
  • 单独的一个数或一个字母也是代数式。

2.2 单项式

• 定义：由数与字母的乘积组成的代数式。
  • 系数：单项式中的数字因数。
  • 次数：单项式中所有字母的指数的和。

2.3 多项式

• 定义：几个单项式的和。
  • 项：多项式中的每个单项式。
  • 常数项：多项式中不含字母的项。
  • 次数：多项式中次数最高的项的次数。

2.4 整式

• 定义：单项式和多项式的统称。

2.5 同类项

• 定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。
  • 合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项。
  • 法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。

2.6 去括号与添括号

• 去括号法则：
  • 括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不改变符号。
  • 括号前面是“—”号，把括号和它前面的“—”号去掉，括号里各项都改变符号。
    • 添括号法则：
  • 添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不改变符号。
  • 添括号后，括号前面是“—”号，括到括号里的各项都改变符号。

2.7 整式的加减

• 运算法则：先去括号，再合并同类项。

三、一元一次方程

3.1 从算式到方程

• 方程：含有未知数的等式。
  • 一元一次方程：只含有一个未知数，且未知数的次数是1的方程。

3.2 解一元一次方程（一）——合并同类项与移项

• 合并同类项：将含有相同未知数的项合并，化简方程。
  • 移项：把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边。
  • 解方程的步骤：
    1. 合并同类项
    2. 移项
    3. 系数化为1

3.3 解一元一次方程（二）——去括号与去分母

• 去括号：按照去括号法则，去掉方程中的括号。
  • 去分母：在方程的两边都乘以各分母的最小公倍数，去掉方程中的分母。
  • 解方程的步骤：
    1. 去分母 (注意乘最小公倍数时不要漏乘不含分母的项)
    2. 去括号
    3. 移项
    4. 合并同类项
    5. 系数化为1

3.4 应用一元一次方程——列方程解应用题

• 审题：理解题意，找出已知条件和未知数，以及它们之间的关系。
  • 设未知数：根据题意，选择适当的未知数表示所求的量。
  • 列方程：根据题意，找出等量关系，列出方程。
  • 解方程：解所列的方程，求出未知数的值。
  • 检验：检验所求的解是否符合题意。
  • 答：写出答案，注意单位。
  • 常见题型：行程问题、工程问题、销售问题、储蓄问题、年龄问题等。

四、几何图形初步

4.1 立体图形与平面图形

• 立体图形：占有一定空间，各部分不都在同一平面内的图形。（如：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）
  • 平面图形：各部分都在同一平面内的图形。（如：三角形、正方形、圆等）

4.2 直线、射线、线段

• 直线：向两方无限延伸，没有端点。
  • 射线：向一方无限延伸，有一个端点。
  • 线段：有两个端点，可以测量长度。
  • 性质：
    • 两点确定一条直线。
    • 两点之间，线段最短。

4.3 角的度量

• 角：由两条具有公共端点的射线组成的图形。
  • 角的单位：度、分、秒。（1度=60分，1分=60秒）
  • 角的分类：锐角、直角、钝角、平角、周角。
    • 锐角：小于90°的角。
    • 直角：等于90°的角。
    • 钝角：大于90°小于180°的角。
    • 平角：等于180°的角。
    • 周角：等于360°的角。

4.4 角的大小比较与运算

• 角的比较：
  • 度量法：用量角器测量，比较度数大小。
  • 叠合法：将两个角的顶点重合，一条边重合，看另一条边的位置。
    • 角的运算：角的和、差、倍、分。
    • 角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线。

4.5 余角与补角

• 余角：如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角。
  • 补角：如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角。
  • 性质：同角（或等角）的余角相等，同角（或等角）的补角相等。

4.6 立体图形的展开与折叠

• 正方体的展开图: 有11种基本形式
  • 注意：掌握常见立体图形的展开图特点，培养空间想象能力。

This is a comprehensive mind map covering the main topics of the first semester of seventh-grade math.

上一个主题： 西游记思维导图 下一个主题： 初中数学思维导图