《初中数学思维导图》
一、数与式
1.1 实数
- 1.1.1 概念：
- 有理数：整数、分数（正整数、0、负整数；正分数、负分数）
- 无理数：无限不循环小数
- 实数：有理数 + 无理数
- 1.1.2 数轴：
- 定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线
- 表示：实数与数轴上的点一一对应
- 1.1.3 相反数、倒数、绝对值：
- 相反数：a 的相反数为 -a；a + (-a) = 0
- 倒数：a 的倒数为 1/a (a≠0)；a * (1/a) = 1
- 绝对值：
- |a| = a (a ≥ 0)
- |a| = -a (a < 0)
- 1.1.4 科学计数法：
- a × 10^n (1 ≤ |a| < 10, n 为整数)
- 1.1.5 实数的运算：
- 加法、减法、乘法、除法、乘方、开方
- 运算顺序：先乘方开方，再乘除，后加减，同级运算从左到右，有括号先算括号里
- 1.1.6 平方根、算术平方根、立方根：
- 平方根：若 x² = a，则 x 为 a 的平方根 (a ≥ 0)
- 算术平方根：正的平方根 (a ≥ 0)
- 立方根：若 x³ = a，则 x 为 a 的立方根
1.2 代数式
- 1.2.1 整式：
- 单项式：数与字母的乘积（单独一个数或字母）
- 系数：单项式中的数字因数
- 次数：所有字母的指数的和
- 多项式：几个单项式的和
- 项：多项式中的每个单项式
- 次数：次数最高的项的次数
- 常数项：不含字母的项
- 整式：单项式 + 多项式
- 单项式：数与字母的乘积（单独一个数或字母）
- 1.2.2 分式：
- 定义：A/B (A、B 为整式，B≠0)
- 分式的基本性质：A/B = (A C)/(B C) = (A/C)/(B/C) (C≠0)
- 分式的运算：加减乘除
- 最简分式：分子分母没有公因式的分式
- 1.2.3 二次根式：
- 定义：√a (a ≥ 0)
- 最简二次根式：被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式
- 同类二次根式：化简后被开方数相同的二次根式
- 二次根式的运算：加减乘除
1.3 整式的运算
- 1.3.1 幂的运算：
- 同底数幂的乘法：a^m * a^n = a^(m+n)
- 幂的乘方：(a^m)^n = a^(m*n)
- 积的乘方：(ab)^n = a^n * b^n
- 同底数幂的除法：a^m / a^n = a^(m-n) (a≠0)
- 1.3.2 整式的乘法：
- 单项式 * 单项式
- 单项式 * 多项式
- 多项式 * 多项式
- 1.3.3 整式的除法：
- 单项式 / 单项式
- 多项式 / 单项式
- 1.3.4 乘法公式：
- 平方差公式：(a + b)(a - b) = a² - b²
- 完全平方公式：(a + b)² = a² + 2ab + b²；(a - b)² = a² - 2ab + b²
- 1.3.5 因式分解：
- 提公因式法
- 公式法（平方差公式、完全平方公式）
- 十字相乘法（简单二次三项式）
二、方程与不等式
2.1 一元一次方程
- 2.1.1 定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是 1 的方程
- 2.1.2 解法：
- 去分母
- 去括号
- 移项
- 合并同类项
- 系数化为 1
- 2.1.3 应用：行程问题、工程问题、利润问题、增长率问题
2.2 二元一次方程组
- 2.2.1 定义：含有两个未知数，且每个未知数的最高次数都是 1 的两个方程组成的方程组
- 2.2.2 解法：
- 代入消元法
- 加减消元法
- 2.2.3 应用：类似于一元一次方程的应用，涉及两个未知量
2.3 一元一次不等式/组
- 2.3.1 定义：含有未知数的不等式
- 2.3.2 基本性质：
- 不等式两边加（减）同一个数（式子），不等号方向不变
- 不等式两边乘（除）同一个正数，不等号方向不变
- 不等式两边乘（除）同一个负数，不等号方向改变
- 2.3.3 解法：类似于一元一次方程，但要注意不等号方向
- 2.3.4 一元一次不等式组：多个一元一次不等式组成，取解集的交集
- 2.3.5 应用：求取值范围，解决实际问题
2.4 分式方程
- 2.4.1 定义：分母中含有未知数的方程
- 2.4.2 解法：
- 去分母
- 化为整式方程
- 解整式方程
- 验根（代入最简公分母，看是否为 0，为 0 则为增根）
2.5 一元二次方程
- 2.5.1 定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是 2 的方程
- 2.5.2 一般形式：ax² + bx + c = 0 (a≠0)
- 2.5.3 解法：
- 直接开平方法 (适用于 (x+m)² = n (n ≥ 0) )
- 配方法
- 公式法：x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)
- 因式分解法
- 2.5.4 判别式：Δ = b² - 4ac
- Δ > 0：有两个不相等的实数根
- Δ = 0：有两个相等的实数根
- Δ < 0：没有实数根
- 2.5.5 根与系数的关系（韦达定理）：x1 + x2 = -b/a, x1 * x2 = c/a
- 2.5.6 应用：面积问题、增长率问题
三、图形与几何
3.1 几何图形初步
- 3.1.1 点、线、面、体：
- 点：无大小，只有位置
- 线：线段、射线、直线
- 面：平面、曲面
- 体：立体图形
- 3.1.2 线段、射线、直线：
- 线段：两个端点
- 射线：一个端点，向一方无限延伸
- 直线：没有端点，向两方无限延伸
- 3.1.3 角：
- 定义：具有公共端点的两条射线组成的图形
- 角的度量：度、分、秒
- 角的分类：锐角、直角、钝角、平角、周角
- 角的比较：叠合法
- 角平分线：把一个角分成两个相等的角的射线
- 3.1.4 相交线与平行线：
- 对顶角：相等
- 邻补角：互补
- 垂线：垂直
- 平行线：在同一平面内，永不相交的两条直线
- 平行线的性质与判定
3.2 三角形
- 3.2.1 定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形
- 3.2.2 分类：
- 按角分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形
- 按边分：不等边三角形、等腰三角形、等边三角形
- 3.2.3 重要线段：
- 中线：连接顶点和对边中点的线段
- 高线：从顶点向对边作的垂线段
- 角平分线：角的顶点到对边角平分线的线段
- 3.2.4 内角和：180°
- 3.2.5 边角关系：
- 三角形任意两边之和大于第三边
- 大边对大角，小边对小角
- 3.2.6 全等三角形：
- 判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL (直角三角形)
- 性质：对应边相等，对应角相等
- 3.2.7 相似三角形：
- 判定方法：AA、SAS、SSS
- 性质：对应边成比例，对应角相等
3.3 四边形
- 3.3.1 平行四边形：
- 性质：对边平行且相等，对角相等，邻角互补，对角线互相平分
- 判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形
- 3.3.2 矩形：
- 性质：具有平行四边形的性质，四个角都是直角，对角线相等
- 判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形
- 3.3.3 菱形：
- 性质：具有平行四边形的性质，四条边都相等，对角线互相垂直平分且平分每一组对角
- 判定：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形；四条边都相等的四边形是菱形
- 3.3.4 正方形：
- 性质：具有矩形和菱形的所有性质
- 判定：有一组邻边相等的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形
- 3.3.5 梯形：
- 定义：只有一组对边平行的四边形
- 等腰梯形：两腰相等的梯形
3.4 圆
- 3.4.1 基本概念：
- 圆心、半径、直径、弦、弧、圆心角、圆周角
- 3.4.2 圆周角定理：
- 同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半
- 直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径
- 3.4.3 切线：
- 判定：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线
- 性质：圆的切线垂直于过切点的半径
- 3.4.4 弧长、扇形面积：
- 弧长：l = (nπr)/180 (n为圆心角的度数)
- 扇形面积：S = (nπr²)/360 = (1/2)lr
3.5 勾股定理
- 3.5.1 内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 (a² + b² = c²)
- 3.5.2 应用：解决实际问题，求线段长度
四、统计与概率
4.1 数据的收集与整理
- 4.1.1 数据的收集：问卷调查、实地测量、查阅资料等
- 4.1.2 数据的整理：频数分布表、条形统计图、折线统计图、扇形统计图
4.2 数据的描述
- 4.2.1 平均数：
- 算术平均数：所有数据的和除以数据的个数
- 加权平均数：考虑权重
- 4.2.2 中位数：将数据从小到大排列，位于中间位置的数（或中间两个数的平均数）
- 4.2.3 众数：一组数据中出现次数最多的数
- 4.2.4 方差、标准差：
- 方差：衡量数据波动大小的量
- 标准差：方差的算术平方根
4.3 概率初步
- 4.3.1 随机事件：可能发生，也可能不发生的事件
- 4.3.2 必然事件：一定发生的事件
- 4.3.3 不可能事件：一定不发生的事件
- 4.3.4 概率：
- P(A) = 事件A发生的可能性大小
- 0 ≤ P(A) ≤ 1
- 计算方法：
- 列举法
- 频率估计概率
五、函数
5.1 平面直角坐标系
- 5.1.1 概念：两条互相垂直的数轴构成，分为四个象限
- 5.1.2 点的坐标： (x, y)
- 5.1.3 特殊位置点的坐标：坐标轴上的点，象限内的点
5.2 一次函数
- 5.2.1 定义：y = kx + b (k≠0)
- 5.2.2 图象：一条直线
- 5.2.3 性质：
- k > 0：y 随 x 增大而增大 (增函数)
- k < 0：y 随 x 增大而减小 (减函数)
- b：与 y 轴的交点坐标 (0, b)
- 5.2.4 两点式求直线方程：已知两点坐标，求直线方程
5.3 反比例函数
- 5.3.1 定义：y = k/x (k≠0)
- 5.3.2 图象：双曲线
- 5.3.3 性质：
- k > 0：图象位于一、三象限
- k < 0：图象位于二、四象限
- 图象关于原点对称
5.4 二次函数
- 5.4.1 定义：y = ax² + bx + c (a≠0)
- 5.4.2 图象：抛物线
- 5.4.3 性质：
- a > 0：开口向上，有最小值
- a < 0：开口向下，有最大值
- 对称轴：x = -b/(2a)
- 顶点坐标：(-b/(2a), (4ac - b²)/(4a))
- 5.4.4 与 x 轴的交点：
- Δ > 0：有两个交点
- Δ = 0：有一个交点
- Δ < 0：没有交点
- 5.4.5 顶点式：y = a(x - h)² + k (顶点坐标为(h, k))
- 5.4.6 应用：最大值、最小值问题，抛物线问题