《三角思维导图》
一、 基础概念
1.1 角的概念
- 定义： 由两条有公共端点的射线组成的几何图形。
- 表示方法：
- 用三个大写字母表示：∠AOB (顶点必须位于中间)
- 用一个大写字母表示：∠A (当顶点只有一个角时)
- 用数字或希腊字母表示：∠1, ∠α
- 角的分类：
- 锐角 (0° < 角 < 90°)
- 直角 (角 = 90°)
- 钝角 (90° < 角 < 180°)
- 平角 (角 = 180°)
- 周角 (角 = 360°)
1.2 三角形的定义与分类
- 定义： 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形。
- 三角形的表示： △ABC
- 三角形的元素：
- 顶点：A, B, C
- 边：AB, BC, CA
- 角：∠A, ∠B, ∠C
- 三角形的分类：
- 按角分：
- 锐角三角形 (三个角都是锐角)
- 直角三角形 (有一个角是直角)
- 钝角三角形 (有一个角是钝角)
- 按边分：
- 不等边三角形 (三边都不相等)
- 等腰三角形 (有两条边相等)
- 等边三角形 (三边都相等，也称为正三角形)
- 按角分：
1.3 三角形的重要线段
- 高： 从三角形一个顶点向它所对的边作垂线，顶点和垂足之间的线段。
- 中线： 连接三角形一个顶点和它所对的边中点的线段。
- 角平分线： 三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，顶点和交点之间的线段。
二、 三角形的性质
2.1 边的关系
- 三角形两边之和大于第三边： a + b > c, a + c > b, b + c > a
- 三角形两边之差小于第三边： |a - b| < c, |a - c| < b, |b - c| < a
2.2 角的关系
- 三角形内角和定理： ∠A + ∠B + ∠C = 180°
- 三角形外角： 三角形的一边与另一边的延长线所组成的角。
- 外角的性质：
- 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
- 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
2.3 特殊三角形的性质
- 等腰三角形：
- 两腰相等。
- 两底角相等。
- 顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 (三线合一)。
- 等边三角形：
- 三边相等。
- 三个内角都是60°。
- 三条高、三条中线、三条角平分线重合。
- 直角三角形：
- 两个锐角互余：∠A + ∠B = 90° (其中∠C = 90°)
- 勾股定理：a² + b² = c² (其中a, b是直角边，c是斜边)
- 30°角所对的直角边等于斜边的一半。
三、 三角形的判定
3.1 一般三角形的判定
- SSS： 三边对应相等的两个三角形全等。
- SAS： 两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。
- ASA： 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。
- AAS： 两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等。
3.2 直角三角形的判定
- 判定一： 有一个角是直角的三角形是直角三角形。
- 判定二： 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 (勾股定理的逆定理)。
- HL： 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
四、 三角形的面积
4.1 一般三角形的面积
- 公式一： S = (1/2) 底 高
- 公式二： S = (1/2) a b * sinC (a, b为两边，C为夹角)
- 海伦公式： S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)) (其中 p = (a + b + c) / 2)
4.2 特殊三角形的面积
- 直角三角形： S = (1/2) * 两直角边之积
- 等边三角形： S = (√3 / 4) * 边长²
五、 相似三角形
5.1 相似三角形的定义
- 对应角相等，对应边成比例的两个三角形是相似三角形。
5.2 相似三角形的判定
- 平行于三角形一边的直线，截其他两边，所得的三角形与原三角形相似。
- AA： 两角对应相等的两个三角形相似。
- SAS： 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
- SSS： 三边对应成比例的两个三角形相似。
5.3 相似三角形的性质
- 对应角相等。
- 对应边成比例。
- 相似三角形的周长之比等于相似比。
- 相似三角形的面积之比等于相似比的平方。
- 相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比。
六、 应用
- 测量高度和距离： 利用相似三角形的性质进行计算。
- 解决实际问题： 例如，建筑设计、地图绘制等。
- 几何证明： 利用三角形的全等和相似解决复杂的几何问题。
这个思维导图涵盖了三角形的基本概念、性质、判定、面积计算以及相似三角形的相关知识，旨在帮助理解和掌握三角形的各个方面。