《十一章三角形思维导图》

一、三角形定义与分类

1.1 三角形定义

• 三条线段首尾顺次相接组成的封闭图形。
• 三个顶点、三条边、三个内角。
• 顶点用大写字母表示，如 A, B, C。
• 边可用两端点表示，如 AB, BC, CA，也可用小写字母表示，如 a, b, c (a对A, b对B, c对C)。

1.2 三角形的分类

1.2.1 按角分类

• 锐角三角形: 三个内角都是锐角 (小于90°)。
• 直角三角形: 有一个内角是直角 (等于90°)。
  • 直角边：组成直角的两条边。
  • 斜边：直角所对的边，是三角形中最长的边。
• 钝角三角形: 有一个内角是钝角 (大于90°且小于180°)。

1.2.2 按边分类

• 不等边三角形: 三条边长都不相等。
• 等腰三角形: 有两条边相等。
  • 腰：相等的两条边。
  • 底边：与腰不相等的边。
  • 顶角：两条腰的夹角。
  • 底角：底边上的两个角，相等。
• 等边三角形: 三条边都相等。
  • 每个内角都是60°。
  • 是特殊的等腰三角形。

二、三角形的性质

2.1 内角和定理

• 三角形三个内角的和等于180°。
• 应用：已知两角求第三角。

2.2 外角性质

• 外角的定义: 三角形的一边与另一边的延长线所组成的角。
• 外角的性质:
  • 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
  • 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
• 一个顶点有两个外角，是对顶角，相等。

2.3 边长关系

• 三角形任意两边之和大于第三边。
• 三角形任意两边之差小于第三边。
• 应用：判断三条线段能否构成三角形。

2.4 三角形中的重要线段

2.4.1 高

• 定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。
• 直角三角形的高：两条直角边互为高，斜边上的高需单独求算。
• 锐角三角形的高：都在三角形内部。
• 钝角三角形的高：两边上的高在三角形外部。

2.4.2 中线

• 定义：连接三角形的一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。
• 三角形有三条中线，交于一点（重心）。
• 中线将三角形分成面积相等的两部分。

2.4.3 角平分线

• 定义：三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
• 三角形有三条角平分线，交于一点（内心）。
• 角平分线上的点到角两边的距离相等。

三、全等三角形

3.1 全等三角形的定义

• 能够完全重合的两个三角形。
• 对应顶点、对应边、对应角。
• 全等符号：≌

3.2 全等三角形的性质

• 对应边相等。
• 对应角相等。

3.3 全等三角形的判定

• SSS (边边边): 三边对应相等的两个三角形全等。
• SAS (边角边): 两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。
• ASA (角角边): 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。
• AAS (角角边): 两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
• HL (斜边、直角边): 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。（直角三角形特有）

3.4 角平分线的性质和判定

• 性质: 角平分线上的点到角两边的距离相等。
• 判定: 到角两边距离相等的点在该角的角平分线上。

四、特殊三角形

4.1 等腰三角形

• 性质：
  • 两腰相等。
  • 两底角相等（等边对等角）。
  • 顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）。
• 判定：
  • 两角相等，则两角所对的边也相等（等角对等边）。
  • 两边相等。

4.2 等边三角形

• 性质：
  • 三边相等。
  • 三个内角都等于60°。
  • 每条边上的高、中线、角平分线互相重合。
• 判定：
  • 三个角都等于60°。
  • 三边都相等。
  • 有一个角是60°的等腰三角形。

4.3 直角三角形

• 性质：
  • 两个锐角互余。
  • 勾股定理：a² + b² = c² (a, b 为直角边，c 为斜边)。
  • 斜边上的中线等于斜边的一半。
  • 30°角所对的直角边等于斜边的一半。
• 判定：
  • 有一个角是直角。
  • 两锐角互余。
  • 满足勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

五、三角形的应用

• 解决实际问题，如测量、建筑等。
• 几何证明题。
• 代数问题（常与方程、不等式结合）。
• 函数问题（如一次函数与三角形结合）。
• 坐标系中三角形面积计算。

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