初二三角形思维导图
《初二三角形思维导图》
一、三角形的基础概念
1. 定义
- 由三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形。
- 包含三个顶点、三条边、三个内角。
2. 组成要素
- 顶点： A, B, C
- 边： AB, BC, CA
- 内角： ∠A, ∠B, ∠C
3. 记法
4. 分类（按角分）
- 锐角三角形： 三个内角都是锐角 (小于90°)
- 直角三角形： 有一个角是直角 (等于90°)
- 钝角三角形： 有一个角是钝角 (大于90°小于180°)
5. 分类（按边分）
- 不等边三角形： 三条边长均不相等。
- 等腰三角形： 有两条边相等。
- 腰： 相等的两条边。
- 底边： 第三条边。
- 顶角： 两腰的夹角。
- 底角： 底边上的两个角。
- 等边三角形： 三条边都相等（也称为正三角形）。
二、三角形的性质
1. 三角形内角和定理
- 三角形三个内角的和等于180°。
- ∠A + ∠B + ∠C = 180°
2. 三角形外角
- 定义： 三角形的一边与另一边的延长线所组成的角。
- 性质：
- 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
- 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
3. 三角形的三边关系
- 三角形任意两边之和大于第三边。
- 三角形任意两边之差小于第三边。
- |a - b| < c < a + b (a, b, c为三角形三边长)
4. 三角形中的重要线段
- 中线： 连接三角形一个顶点和它对边中点的线段。
- 角平分线： 三角形一个内角的平分线与对边相交，顶点和交点之间的线段。
- 三角形有三条角平分线，且三条角平分线交于一点，称为内心。
- 高： 从三角形一个顶点向它对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段。
- 三角形有三条高，且三条高所在直线交于一点，称为垂心。
- 直角三角形中，两条直角边互为高。
三、三角形的面积
1. 一般三角形面积公式
- S = (1/2) 底 高 (S = (1/2) b h)
2. 海伦公式
- S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)) (其中p = (a+b+c)/2， a, b, c为三角形三边长)
3. 直角三角形面积公式
4. 等边三角形面积公式
四、特殊三角形
1. 等腰三角形
- 性质：
- 两腰相等。
- 两底角相等。
- 顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）。
2. 等边三角形
- 性质：
- 三条边都相等，三个角都等于60°。
- 三条边上的中线、高、角平分线重合。
- 具有等腰三角形的所有性质。
3. 直角三角形
- 性质：
- 两个锐角互余（∠A + ∠B = 90°）。
- 勾股定理：a² + b² = c² (a, b为直角边，c为斜边)。
- 30°角所对的直角边等于斜边的一半。
- 斜边上的中线等于斜边的一半。
五、全等三角形
1. 定义
2. 性质
3. 判定方法
- SSS： 三边对应相等的两个三角形全等。
- SAS： 两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。
- ASA： 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。
- AAS： 两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等。
- HL： 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 (仅适用于直角三角形)。
4. 应用
- 证明线段相等，角相等，线段间的和差倍分关系。
- 构造全等三角形解决几何问题。
六、相似三角形
1. 定义
2. 性质
- 对应角相等。
- 对应边成比例。
- 相似比等于对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比。
- 面积比等于相似比的平方。
3. 判定方法
- 平行于三角形一边的直线，截其他两边，所得的三角形与原三角形相似。
- 两角对应相等的两个三角形相似。
- 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
- 三边对应成比例的两个三角形相似。
4. 应用
- 测量高度、距离（利用相似三角形的对应边成比例）。
- 证明线段成比例，角相等。
- 解决实际问题。
七、三角形与坐标系
1. 坐标系中表示三角形
2. 面积计算
3. 图形变换
