《三角形四边形思维导图》
一、三角形
1. 定义及基本概念
- 定义: 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形。
- 顶点: 三角形中三个角的交点。
- 边: 连接顶点的线段。
- 角: 两边所夹的角（内角）。
- 高: 从三角形一个顶点向对边（或对边所在直线）所作的垂线段。
- 中线: 连接三角形一个顶点和对边中点的线段。
- 角平分线: 三角形一个内角的平分线与对边相交，顶点和交点之间的线段。
- 周长: 三条边长度之和。
- 面积: 底乘以高除以二 (1/2 底 高)。
- 稳定性: 三角形具有稳定性。
2. 三角形的分类
- 按角分类:
- 锐角三角形: 三个角都是锐角。
- 直角三角形: 有一个角是直角。
- 钝角三角形: 有一个角是钝角。
- 按边分类:
- 不等边三角形: 三条边长度都不相等。
- 等腰三角形: 有两条边长度相等。
- 等边三角形 (正三角形): 三条边长度都相等。
3. 三角形的性质
- 内角和定理: 三角形三个内角之和等于180度。
- 外角定理: 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。
- 边关系:
- 两边之和大于第三边: a + b > c, a + c > b, b + c > a
- 两边之差小于第三边: |a - b| < c, |a - c| < b, |b - c| < a
- 特殊三角形的性质:
- 等腰三角形:
- 两腰相等。
- 两底角相等。
- 顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 (三线合一)。
- 等边三角形:
- 三条边都相等。
- 三个角都等于60度。
- 三条中线、三条角平分线、三条高互相重合。
- 直角三角形:
- 两个锐角互余。
- 勾股定理: a² + b² = c² (其中c为斜边)。
- 30度角所对的直角边等于斜边的一半。
- 等腰三角形:
4. 全等三角形
- 定义: 能够完全重合的两个三角形。
- 判定方法:
- SSS (边边边): 三边对应相等的两个三角形全等。
- SAS (边角边): 两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。
- ASA (角边角): 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。
- AAS (角角边): 两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等。
- HL (斜边、直角边): 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
- 性质: 全等三角形的对应边相等，对应角相等。
5. 相似三角形
- 定义: 对应角相等，对应边成比例的两个三角形。
- 判定方法:
- 平行于三角形一边的直线，截其他两边，所得的三角形与原三角形相似。
- 三边对应成比例的两个三角形相似 (SSS)。
- 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 (SAS)。
- 两角对应相等的两个三角形相似 (AA)。
- 性质:
- 对应角相等。
- 对应边成比例。
- 周长之比等于相似比。
- 面积之比等于相似比的平方。
二、四边形
1. 定义及基本概念
- 定义: 由四条线段首尾相连构成的封闭图形。
- 顶点: 四边形四个角的交点。
- 边: 连接顶点的线段。
- 角: 两边所夹的角（内角）。
- 对角线: 连接不相邻的两个顶点的线段。
- 周长: 四条边长度之和。
- 面积: 根据四边形类型计算。
- 不稳定性: 四边形具有不稳定性。
2. 四边形的分类
- 一般四边形: 没有特殊性质的四边形。
- 特殊四边形:
- 平行四边形: 两组对边分别平行的四边形。
- 矩形: 有一个角是直角的平行四边形。
- 菱形: 四条边都相等的平行四边形。
- 正方形: 四条边都相等且四个角都是直角的四边形 (既是矩形又是菱形)。
- 梯形: 只有一组对边平行的四边形。
- 等腰梯形: 两腰相等的梯形。
- 直角梯形: 有一个角是直角的梯形。
3. 特殊四边形的性质
- 平行四边形:
- 对边平行且相等。
- 对角相等。
- 邻角互补。
- 对角线互相平分。
- 矩形:
- 具有平行四边形的所有性质。
- 四个角都是直角。
- 对角线相等且互相平分。
- 菱形:
- 具有平行四边形的所有性质。
- 四条边都相等。
- 对角线互相垂直平分，且平分每一组对角。
- 正方形:
- 具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质。
- 四条边都相等，四个角都是直角。
- 对角线相等、互相垂直平分，且平分每一组对角。
- 梯形:
- 只有一组对边平行。
- 等腰梯形:
- 同一底上的两个角相等。
- 对角线相等。
4. 特殊四边形的判定
- 平行四边形:
- 两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
- 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
- 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
- 两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
- 对角线互相平分的四边形是平行四边形。
- 矩形:
- 有一个角是直角的平行四边形是矩形。
- 对角线相等的平行四边形是矩形。
- 有三个角是直角的四边形是矩形。
- 菱形:
- 一组邻边相等的平行四边形是菱形。
- 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
- 四条边都相等的四边形是菱形。
- 正方形:
- 一组邻边相等的矩形是正方形。
- 有一个角是直角的菱形是正方形。
- 对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形。
- 等腰梯形:
- 两腰相等的梯形是等腰梯形。
- 同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。
5. 四边形内角和
- 四边形内角和定理: 四边形的内角和等于360度。
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