《不等式与不等式组的思维导图》
I. 不等式的基本概念
- 定义： 用不等号（>, <, ≥, ≤, ≠）连接的式子，表示数量之间不相等的关系。
- 不等号的类型：
- 严格不等号：>, <
- 非严格不等号：≥, ≤
- 不等式的性质：
- 对称性： 若 a > b，则 b < a
- 传递性： 若 a > b，且 b > c，则 a > c
- 加法性质： 若 a > b，则 a + c > b + c
- 乘法性质：
- 若 a > b，且 c > 0，则 ac > bc
- 若 a > b，且 c < 0，则 ac < bc
- 推论：
- 若 a + c > b + c，则 a > b
- 若 ac > bc，且 c > 0，则 a > b
- 若 ac < bc，且 c < 0，则 a > b
- 不等式的表示：
- 代数式形式：如 x + 2 > 5, 2x - 3 ≤ 7
- 数轴形式：用数轴表示不等式的解集，注意空心圆圈和实心圆点。
- 区间表示：
- 开区间：(a, b) 表示 a < x < b
- 闭区间：[a, b] 表示 a ≤ x ≤ b
- 半开半闭区间：(a, b], [a, b)
- 无穷区间：(a, +∞), [a, +∞), (-∞, b), (-∞, b], (-∞, +∞)
II. 一元一次不等式
- 定义： 只有一个未知数，且未知数的次数是1的不等式。
- 一般形式： ax > b, ax < b, ax ≥ b, ax ≤ b (a ≠ 0)
- 解法：
- 移项：将未知数项移到一边，常数项移到另一边。
- 合并同类项：化简不等式。
- 系数化为1：注意 a 的符号，如果 a < 0，则要改变不等号的方向。
- 解集： 不等式所有解的集合，可以用数轴或区间表示。
- 应用： 解决实际问题，如利润问题、方案选择问题等。
III. 一元一次不等式组
- 定义： 由几个含有一个未知数的一次不等式组成的不等式组。
- 解法：
- 分别解出每个不等式的解集。
- 在数轴上表示出每个不等式的解集。
- 求出所有不等式解集的公共部分，即为不等式组的解集。
- 解集类型：
- 有解：公共部分不为空集。
- 无解：公共部分为空集。
- 解集为空集：表示不等式组无解
- 特殊情况：
- 大于大的：x > a, x > b (a < b) => x > b
- 小于小的：x < a, x < b (a < b) => x < a
- 大于小的，小于大的：a < x < b
- 应用： 解决实际问题，如范围确定问题、多个条件限制问题等。
IV. 二元一次不等式与二元一次不等式组
- 二元一次不等式： 含有两个未知数，且未知数的次数都是1的不等式。例如: ax + by > c
- 二元一次不等式组： 由几个二元一次不等式组成的不等式组。
- 几何意义：
- 二元一次不等式表示平面直角坐标系中的一个区域。
- 二元一次不等式组表示多个区域的交集。
- 可行域： 由二元一次不等式组确定的平面区域。
- 解法：
- 在平面直角坐标系中画出每个不等式表示的直线。
- 确定每个不等式表示的区域（通常用阴影表示）。
- 取所有不等式表示区域的公共部分，即为不等式组的解集（可行域）。
- 线性规划： 利用可行域解决最优化问题。
- 目标函数：需要最大化或最小化的函数。
- 约束条件：限制目标函数变量取值的条件，由不等式组给出。
- 最优解：使目标函数取得最大值或最小值的解。
V. 基本不等式
- 基本不等式： 对于任意实数 a, b，有 a² + b² ≥ 2ab，当且仅当 a = b 时，等号成立。
- 重要变形：
- (a + b)² ≥ 4ab
- (a - b)² ≥ 0
- 均值不等式： 若 a, b > 0，则 (a + b)/2 ≥ √(ab)，当且仅当 a = b 时，等号成立。
- 算术平均数：(a + b)/2
- 几何平均数：√(ab)
- 推广：
- n 个正数的均值不等式：(a₁ + a₂ + ... + aₙ)/n ≥ ⁿ√(a₁a₂...aₙ)，当且仅当 a₁ = a₂ = ... = aₙ 时，等号成立。
- 应用： 求最值问题。
- 积定和最小：当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，当且仅当两个数相等时，取得最小值。
- 和定积最大：当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，当且仅当两个数相等时，取得最大值。
- 使用条件： 一正、二定、三相等。
VI. 绝对值不等式
- 绝对值的定义： |a| = a (a ≥ 0), |a| = -a (a < 0)
- 几何意义： |a| 表示数 a 在数轴上对应的点到原点的距离。
- 基本性质：
- |a| ≥ 0
- |-a| = |a|
- |ab| = |a||b|
- |a/b| = |a|/|b| (b ≠ 0)
- 解绝对值不等式：
- |x| < a (a > 0) => -a < x < a
- |x| > a (a > 0) => x < -a 或 x > a
- |ax + b| < c (c > 0) => -c < ax + b < c
- |ax + b| > c (c > 0) => ax + b < -c 或 ax + b > c
- 含绝对值的不等式：
- |a| - |b| ≤ |a + b| ≤ |a| + |b|
- |a| - |b| ≤ |a - b| ≤ |a| + |b|
VII. 不等式的证明方法
- 比较法：
- 作差比较：判断 A - B 的符号，如果 A - B > 0，则 A > B；如果 A - B < 0，则 A < B；如果 A - B = 0，则 A = B。
- 作商比较：用于证明两个正数的大小关系，判断 A/B 与 1 的大小关系。
- 综合法： 从已知条件出发，利用已知的数学定理、性质、公式等，经过一系列的推理和演算，最终得出要证明的结论。
- 分析法： 从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充分条件，直到所寻求的条件为已知条件或已被证明的事实。
- 反证法： 先假设要证明的结论不成立，然后从这个假设出发，经过一系列的推理，导致矛盾，从而证明原结论成立。
- 数学归纳法： 用于证明与自然数有关的命题。
- 证明当 n = n₀ 时，命题成立。
- 假设当 n = k (k ≥ n₀) 时，命题成立，证明当 n = k + 1 时，命题也成立。
VIII. 总结
不等式与不等式组是重要的数学工具，广泛应用于解决各种实际问题。 掌握不等式的基本概念、性质、解法和证明方法，能够提高解决问题的能力，培养逻辑思维能力。 线性规划、基本不等式和绝对值不等式是重点和难点，需要加强练习和理解。