《整式思维导图手抄报》
一、整式的概念
1. 定义：
- 单项式和多项式统称为整式。
- 整式是有理式的一部分，不包括分母中含有字母的代数式。
2. 关键点：
- 是代数式，必须用运算符号连接数字和字母。
- 分母中不能含有字母，否则不是整式。
- 单独一个数或一个字母也是整式。
二、单项式
1. 定义：
- 由数与字母的积组成的代数式叫做单项式。单独一个数或一个字母也算单项式。
2. 组成部分：
- 系数： 单项式中的数字因数叫做单项式的系数。
- 系数可以是整数、分数、小数，可以是正数、负数或零。
- 当单项式只有字母时，系数为1或-1（需注意正负号）。
- 次数： 单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数。
- 常数的次数为0。
- 注意：指数是指字母的指数，系数中的指数不计入次数。
- 例如：-3x²y³的次数是2+3=5，系数是-3。
3. 注意事项：
- π是一个常数，不是字母，因此含有π的单项式仍然是单项式，且π不计入次数。
- 单项式的系数包含数字前的符号。
- 只含有数字因数的项，次数为0。
三、多项式
1. 定义：
- 几个单项式的和叫做多项式。
2. 组成部分：
- 项： 多项式中的每个单项式叫做多项式的项。
- 项包含前面的符号。
- 常数项： 不含字母的项叫做常数项。
- 次数： 多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。
- 项数： 多项式中单项式的个数。
3. 注意事项：
- 多项式的每一项都是单项式。
- 多项式的项数指的是单项式的个数，不是加减号的个数。
- 确定多项式的次数时，要注意寻找次数最高的项。
4. 多项式的排列：
- 按某个字母的升幂排列： 把多项式各项按某个字母的指数从小到大排列。
- 按某个字母的降幂排列： 把多项式各项按某个字母的指数从大到小排列。
- 排列时注意保留各项的符号。
四、同类项
1. 定义：
- 所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。所有的常数项也看作同类项。
2. 判断依据：
- 字母相同： 必须所含字母完全一致。
- 相同字母的指数相同： 相同字母的指数必须分别相同。
- 与系数无关，与字母顺序无关。
3. 合并同类项：
- 法则： 把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。
- 步骤：
- 准确找出同类项。
- 利用加法交换律、结合律将同类项集中在一起。
- 合并同类项。
4. 合并同类项的作用：
- 化简多项式，使计算更简便。
五、整式的加减
1. 本质：
- 合并同类项。
2. 步骤：
- 去括号：
- 括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不变符号。
- 括号前是“—”号，把括号和它前面的“—”号去掉，括号里各项都改变符号。
- 合并同类项：
- 准确找出同类项。
- 利用加法交换律、结合律将同类项集中在一起。
- 合并同类项。
3. 注意事项：
- 去括号时，特别注意括号前是“-”号的情况，要改变括号内每一项的符号。
- 合并同类项时，只改变系数，字母和字母的指数不变。
- 最终结果必须是最简形式，不能再有同类项。
六、幂的运算性质 (补充，与整式乘除密切相关)
1. 同底数幂的乘法： aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ （m，n是正整数）
- 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
2. 幂的乘方： (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ （m，n是正整数）
- 幂的乘方，底数不变，指数相乘。
3. 积的乘方： (ab)ⁿ = aⁿbⁿ （n是正整数）
- 积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
4. 同底数幂的除法： aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ (a≠0, m, n是正整数，且m>n)
- 同底数幂相除，底数不变，指数相减。
5. 零指数幂： a⁰ = 1 (a≠0)
- 任何不等于零的数的零次幂都等于1。
6. 负整数指数幂： a⁻ᵖ = 1/aᵖ (a≠0, p是正整数)
- 任何不等于零的数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数。
七、乘法公式 (补充，简化计算)
1. 平方差公式： (a+b)(a-b) = a² - b²
- 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。
2. 完全平方公式：
- (a+b)² = a² + 2ab + b²
- (a-b)² = a² - 2ab + b²
- 两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。
八、整式的乘法
1. 单项式乘以单项式：
- 把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。
2. 单项式乘以多项式：
- 用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
- a(b+c+d) = ab+ac+ad
3. 多项式乘以多项式：
- 先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
- (a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd
九、整式的除法
1. 单项式除以单项式：
- 把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
2. 多项式除以单项式：
- 先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。
十、总结
整式是代数学习的基础，掌握其概念、运算规则和公式，对于后续的学习至关重要。 熟练运用同类项合并、去括号等技巧，可以简化计算过程。 同时，幂的运算性质和乘法公式是解决整式乘除问题的关键。