《小学数与代数思维导图》

一、数的认识

1.1 整数

• 1.1.1 自然数：
  • 定义：表示物体个数的数，0,1,2,3,...
  • 特点：最小的自然数是0，没有最大的自然数
  • 应用：计数、测量、排序等
• 1.1.2 零：
  • 特殊性：既不是正数也不是负数
  • 意义：表示没有，温度的起点，数轴的原点
  • 性质：任何数加0等于原数，任何数乘0等于0
• 1.1.3 正整数：
  • 定义：大于0的整数，1,2,3,...
• 1.1.4 负整数：
  • 定义：小于0的整数，-1,-2,-3,...
• 1.1.5 整数的分类：
  • 按正负分：正整数、0、负整数
  • 按奇偶分：奇数、偶数

1.2 分数

• 1.2.1 分数的意义：
  • 把单位“1”平均分成若干份，表示这样一份或几份的数
  • 分子、分母、分数线
  • 真分数、假分数、带分数
• 1.2.2 分数的分类：
  • 真分数：分子小于分母的分数，真分数小于1
  • 假分数：分子大于或等于分母的分数，假分数大于或等于1
  • 带分数：由整数和真分数组成的分数
• 1.2.3 分数的基本性质：
  • 分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变
  • 应用：约分、通分
• 1.2.4 约分与通分：
  • 约分：把一个分数化成同它相等但分子、分母都比较小的分数
    • 最简分数：分子和分母互质的分数
  • 通分：把几个分母不同的分数化成和原来分数分别相等的同分母的分数

1.3 小数

• 1.3.1 小数的意义：
  • 把单位“1”平均分成10份、100份、1000份……，表示其中的一份或几份的数
  • 小数点、数位、计数单位
• 1.3.2 小数的分类：
  • 按位数分：有限小数、无限小数
  • 按是否循环分：循环小数、无限不循环小数
    • 循环小数：纯循环小数、混循环小数
• 1.3.3 小数的性质：
  • 在小数的末尾添上或者去掉0，小数的大小不变
• 1.3.4 小数的比较大小：
  • 先比较整数部分，整数部分大的数就大；整数部分相同，就比较十分位，十分位大的数就大；……

1.4 百分数

• 1.4.1 百分数的意义：
  • 表示一个数是另一个数的百分之几的数，也叫百分率或百分比
  • 特点：只表示两个数的倍数关系，不带单位
• 1.4.2 百分数与分数、小数的互化：
  • 百分数化小数：去掉百分号，小数点向左移动两位
  • 小数化百分数：小数点向右移动两位，添上百分号
  • 百分数化分数：先化成分母是100的分数，再约分
  • 分数化百分数：先化成小数，再化成百分数

1.5 负数

• 1.5.1 负数的意义：
  • 表示与正数意义相反的数
  • 正数、0、负数的关系
• 1.5.2 负数的应用：
  • 表示温度、海拔高度、盈亏等

二、数的运算

2.1 整数的运算

• 2.1.1 加法：
  • 意义：把两个数合并成一个数的运算
  • 加法交换律：a+b=b+a
  • 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)
• 2.1.2 减法：
  • 意义：已知两个加数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算
  • 减法的性质：a-b-c=a-(b+c)
• 2.1.3 乘法：
  • 意义：求几个相同加数的和的简便运算
  • 乘法交换律：a×b=b×a
  • 乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c)
  • 乘法分配律：(a+b)×c=a×c+b×c
• 2.1.4 除法：
  • 意义：已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算
  • 除法的性质：a÷b÷c=a÷(b×c)
• 2.1.5 运算顺序：
  • 先乘除，后加减，有括号先算括号里的

2.2 分数的运算

• 2.2.1 加法与减法：
  • 同分母分数加减法：分母不变，分子相加减
  • 异分母分数加减法：先通分，再按同分母分数加减法计算
• 2.2.2 乘法：
  • 分数乘整数：分子与整数相乘的积作分子，分母不变
  • 分数乘分数：分子乘分子作分子，分母乘分母作分母
• 2.2.3 除法：
  • 分数除以整数：等于分数乘这个整数的倒数
  • 分数除以分数：等于分数乘除数的倒数
• 2.2.4 混合运算：
  • 运算顺序与整数混合运算相同

2.3 小数的运算

• 2.3.1 加法与减法：
  • 小数点对齐，按整数加减法计算
• 2.3.2 乘法：
  • 按整数乘法计算，看因数中共有几位小数，就从积的右边数出几位，点上小数点
• 2.3.3 除法：
  • 除数是整数的除法：按整数除法计算，商的小数点要和被除数的小数点对齐
  • 除数是小数的除法：先把除数变成整数，被除数也扩大相同的倍数，再按除数是整数的除法计算
• 2.3.4 混合运算：
  • 运算顺序与整数混合运算相同

2.4 百分数的运算

• 2.4.1 百分数的应用：
  • 求一个数是另一个数的百分之几
  • 求一个数的百分之几是多少
  • 已知一个数的百分之几是多少，求这个数

三、代数初步

3.1 字母表示数

• 3.1.1 用字母表示数的意义：
  • 用字母可以表示任何数
  • 简明、通用
• 3.1.2 代数式：
  • 用运算符号把数和字母连接起来的式子
  • 代数式的求值
• 3.1.3 简易方程：
  • 含有未知数的等式

3.2 方程

• 3.2.1 方程的意义：
  • 含有未知数的等式
• 3.2.2 解方程：
  • 求方程的解的过程
• 3.2.3 等式的性质：
  • 等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立
  • 等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立
• 3.2.4 列方程解应用题：
  • 找准等量关系
  • 设未知数
  • 列方程
  • 解方程
  • 检验作答

3.3 比和比例

• 3.3.1 比的意义：
  • 两个数相除又叫做两个数的比
  • 前项、后项、比值
• 3.3.2 比的基本性质：
  • 比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变
• 3.3.3 比例的意义：
  • 表示两个比相等的式子
  • 内项、外项
• 3.3.4 比例的基本性质：
  • 在比例里，两个外项的积等于两个内项的积
• 3.3.5 正比例和反比例：
  • 正比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量
  • 反比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量

四、常见的量

4.1 计量单位

• 4.1.1 长度单位：
  • 千米、米、分米、厘米、毫米
• 4.1.2 面积单位：
  • 平方千米、公顷、平方米、平方分米、平方厘米
• 4.1.3 体积单位：
  • 立方米、立方分米（升）、立方厘米（毫升）
• 4.1.4 质量单位：
  • 吨、千克、克
• 4.1.5 时间单位：
  • 世纪、年、月、日、时、分、秒
• 4.1.6 进率：
  • 相邻两个单位之间的进率

4.2 名数

• 4.2.1 单名数与复名数：
  • 单名数：只用一个单位名称表示的数
  • 复名数：用两个或两个以上的单位名称表示的数
• 4.2.2 名数的改写：
  • 高级单位转化为低级单位：乘进率
  • 低级单位转化为高级单位：除以进率