《一元一次不等式思维结构图》
一、 基础概念与性质
1.1 不等式的定义
- 定义： 用不等号（>, <, ≥, ≤, ≠）连接的表示数量关系的式子。
- 不等号的种类：
- 大于号(>)
- 小于号(<)
- 大于等于号(≥, 也称为不小于号)
- 小于等于号(≤, 也称为不大于号)
- 不等于号(≠)
1.2 一元一次不等式的定义
- 定义： 含有一个未知数，且未知数的最高次数是1，且不等式两边都是整式的不等式。
- 一般形式： ax > b, ax < b, ax ≥ b, ax ≤ b, ax ≠ b (其中a, b为常数，a ≠ 0)
- 注意： 判断是否为一元一次不等式，需满足三个条件：一个未知数，最高次数为1，整式。
1.3 不等式的基本性质
- 性质1： 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。
- 若 a > b，则 a + c > b + c, a - c > b - c
- 性质2： 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
- 若 a > b，且 c > 0，则 ac > bc, a/c > b/c
- 性质3： 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
- 若 a > b，且 c < 0，则 ac < bc, a/c < b/c
- 重要性： 这些性质是解不等式的基础，尤其是性质3，是易错点。理解并熟练运用这些性质至关重要。
- 推论： 若a+c > b+c，则 a > b。 若a-c > b-c，则 a > b。
二、 解一元一次不等式
2.1 解不等式的步骤 (类似于解一元一次方程，但要注意不等号方向)
- 去分母（若有）： 不等式两边同乘以各分母的最小公倍数。注意：若乘以负数，不等号变向。
- 去括号（若有）： 按照先小括号，再中括号，最后大括号的顺序去括号，注意符号。
- 移项： 将含有未知数的项移到不等式的一边，常数项移到另一边。注意：移项要变号。
- 合并同类项： 将不等式两边分别合并同类项，化简为 ax > b, ax < b, ax ≥ b, ax ≤ b 的形式。
- 系数化为1： 将未知数的系数化为1。
- 若 a > 0，则 x > b/a (或 x < b/a, x ≥ b/a, x ≤ b/a)
- 若 a < 0，则 x < b/a (或 x > b/a, x ≤ b/a, x ≥ b/a) （注意不等号变向）
2.2 解的表示
- 解集： 使不等式成立的所有未知数的值的集合。
- 表示方法：
- 不等式表示： 例如 x > 2, x ≤ -1
- 数轴表示： 在数轴上画出解集，注意空心圈和实心圈的运用。大于向右，小于向左。
-
和 < 用空心圈表示，不包含端点。
- ≥ 和 ≤ 用实心圈表示，包含端点。
-
- 区间表示（高中）： 例如 (2, +∞), (-∞, -1]
2.3 特殊情况
- 解集为空集： 不等式无解，例如 0x > 5 (任何数的0倍都是0，不可能大于5)。
- 解集为全体实数： 不等式恒成立，例如 0x < 5 (任何数的0倍都是0，总是小于5)。
三、 一元一次不等式组
3.1 定义
- 定义： 由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组。
3.2 解不等式组
- 步骤：
- 分别解出每个不等式的解集。
- 在数轴上表示出每个不等式的解集。
- 找出所有不等式解集的公共部分，即为不等式组的解集。
- 口诀： 大大取较大，小小取较小，大小小大中间找，大大小小找不到 (无解)。
3.3 解集的情况
- 有解： 存在公共部分。
- 大于大于取较大： x > a, x > b, 则 x > max(a, b)
- 小于小于取较小： x < a, x < b, 则 x < min(a, b)
- 大于小于中间找： x > a, x < b, 则 a < x < b (a < b)
- 无解： 不存在公共部分，解集为空集。 x > a, x < b, 且 a ≥ b。
3.4 应用
- 确定不等式组中参数的取值范围： 根据不等式组的解集，反过来求参数的取值。
- 解决实际问题： 例如，求某个变量的取值范围，使得满足多个条件。
四、 应用题
4.1 解题步骤
- 审题： 理解题意，找出题中的关键词和已知条件。
- 设未知数： 根据题意，设适当的未知数。
- 列不等式（或不等式组）： 根据题中的数量关系，列出不等式或不等式组。注意：确定不等号的方向是关键。
- 解不等式（或不等式组）： 求出未知数的取值范围。
- 检验： 将求出的解代入实际问题中进行检验，看是否符合题意。
- 作答： 写出符合题意的答案。
4.2 常见类型
- 利润问题： 总利润 = 单件利润 * 销售数量， 注意成本，售价，利润之间的关系。
- 方案选择问题： 比较不同方案的费用，选择最经济的方案。
- 行程问题： 路程 = 速度 * 时间，注意追及问题，相遇问题。
- 数字问题： 例如，求满足条件的整数解。
- 工程问题： 工作量 = 工作效率 * 工作时间，注意合作完成的情况。
五、 易错点总结
- 不等式性质3： 不等式两边乘以（或除以）负数，不等号要变向。
- 解不等式组时，数轴表示的准确性： 注意空心圈和实心圈的运用，以及解集的端点。
- 应用题中，不等号方向的确定： 认真审题，理解题意，确定不等号的方向。
- 解集为空集的情况： 容易忽略，导致答案错误。
六、 拓展延伸
- 二元一次不等式（组）与平面区域： 高中知识，与线性规划相关。
- 绝对值不等式： 含有绝对值符号的不等式。
- 高次不等式： 未知数的最高次数大于1的不等式。 (大学)