小数乘法和小数除法思维导图
《小数乘法和小数除法思维导图》
一、小数乘法
1. 意义
- 1.1. 整数乘法的意义的扩展
- 1.1.1. 求几个相同加数的和的简便运算
- 1.1.2. 一个数的几倍是多少
- 1.2. 小数乘法的意义
- 1.2.1. 求一个数的十分之几，百分之几，千分之几...是多少
2. 计算方法
- 2.1. 转化思想：将小数乘法转化为整数乘法
- 2.1.1. 去掉小数点的乘法：忽略小数点，按照整数乘法进行计算。
- 2.1.2. 点上小数点：根据因数中小数的总位数，从积的右边数起，数出相应的位数，点上小数点。
- 2.2. 注意事项
- 2.2.1. 位数不够时，用0补足。
- 2.2.2. 积的小数部分末尾的0要去掉。
- 2.2.3. 估算：先估算结果的范围，再进行精确计算。
- 2.3. 特殊情况
- 2.3.1. 乘数小于1：积比被乘数小
- 2.3.2. 乘数等于1：积等于被乘数
- 2.3.3. 乘数大于1：积比被乘数大
3. 积的近似数
- 3.1. 方法
- 3.1.1. 先计算出精确结果
- 3.1.2. 运用“四舍五入”法
- 3.1.3. 根据题目要求精确到指定数位
- 3.2. 注意事项
- 3.2.1. 注意保留的位数，而不是从小数点后第几位开始看。
- 3.2.2. 灵活运用“进一法”和“去尾法”解决实际问题（例如：装油、制作衣服等）。
4. 简便运算
- 4.1. 乘法交换律：a × b = b × a
- 4.2. 乘法结合律：(a × b) × c = a × (b × c)
- 4.3. 乘法分配律：(a + b) × c = a × c + b × c 和 a × c + b × c = (a + b) × c
- 4.4. 常见简算技巧
- 4.4.1. 2.5 × 4 = 10
- 4.4.2. 1.25 × 8 = 10
- 4.4.3. 利用拆分、合并、提取等方法进行简算。
5. 解决问题
- 5.1. 连乘问题：需要连续进行两次或多次乘法运算的问题。
- 5.2. 总价、数量、单价的关系：总价 = 单价 × 数量
- 5.3. 运用小数乘法解决实际生活中的问题。
二、小数除法
1. 意义
- 1.1. 整数除法的意义的扩展
- 1.1.1. 已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。
- 1.2. 小数除法的意义
- 1.2.1. 已知两个因数的积与其中一个因数（可以是小数），求另一个因数的运算。
2. 计算方法
- 2.1. 除数是整数的小数除法
- 2.1.1. 按照整数除法的方法计算
- 2.1.2. 商的小数点要和被除数的小数点对齐
- 2.1.3. 如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添0继续除。
- 2.2. 除数是小数的小数除法
- 2.2.1. 转化思想：将除数是小数的除法转化为除数是整数的除法。
- 2.2.2. 移动小数点：把除数变成整数，除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位，位数不够的，在被除数的末尾用0补足。
- 2.2.3. 按照除数是整数的小数除法进行计算。
- 2.3. 注意事项
- 2.3.1. 除数和被除数同时扩大相同的倍数，商不变。（商不变性质）
- 2.3.2. 明确小数点移动的方向和位数。
- 2.3.3. 整数部分不够商1时，商0占位。
- 2.3.4. 除到哪一位，商就写在哪一位上面。
3. 商的近似数
- 3.1. 方法
- 3.1.1. 先计算出足够多的位数
- 3.1.2. 运用“四舍五入”法
- 3.1.3. 根据题目要求精确到指定数位
- 3.2. 注意事项
- 3.2.1. 需要多除一位，再进行四舍五入。
- 3.2.2. 灵活运用“进一法”和“去尾法”解决实际问题（例如：分东西、装东西等）。
4. 循环小数
- 4.1. 定义：一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。
- 4.2. 循环节：循环小数中重复出现的数字。
- 4.3. 表示方法：
- 4.3.1. 用省略号表示：写出循环节，然后用省略号表示后面的循环部分。
- 4.3.2. 简便写法：在循环节的第一个数字和最后一个数字的上面各点一个点。
- 4.4. 有限小数和无限小数
- 4.4.1. 有限小数：小数部分的位数是有限的。
- 4.4.2. 无限小数：小数部分的位数是无限的。
- 4.4.3. 循环小数是无限小数。
5. 简便运算
- 5.1. 除法分配律的反用：c ÷ (a + b) ≠ c ÷ a + c ÷ b (一般不能用)
- 5.2. 除法结合律：a ÷ b ÷ c = a ÷ (b × c) 和 a ÷ (b × c) = a ÷ b ÷ c
- 5.3. 常见简算技巧
- 5.3.1. 利用商不变的性质，将除数变为整数进行简算。
- 5.3.2. 将复杂的除法转化为简单的除法进行简算。
6. 解决问题
- 6.1. 连除问题：需要连续进行两次或多次除法运算的问题。
- 6.2. 总价、数量、单价的关系：单价 = 总价 ÷ 数量
- 6.3. 总产量、数量、单产量的关系：单产量 = 总产量 ÷ 数量
- 6.4. 平均数问题：总数 ÷ 份数 = 平均数
- 6.5. 运用小数除法解决实际生活中的问题。例如：路程、时间、速度的关系（速度 = 路程 ÷ 时间）。
7. 综合应用
- 7.1. 小数乘法和除法的混合运算。
- 7.2. 利用小数乘法和除法解决复杂的实际问题。
- 7.3. 培养分析问题、解决问题的能力。
三、易错点总结
- 3.1. 小数点的位置移动错误。
- 3.2. 忘记补0。
- 3.3. 积或商的近似数，该用四舍五入法的时候却用了进一法或去尾法，或者反之。
- 3.4. 简便运算时，对运算定律的理解不够透彻，导致错误。
- 3.5. 解决实际问题时，对题意的理解不够准确，导致计算错误。
- 3.6. 混淆小数乘法中，乘数小于1，积小于被乘数；小数除法中，除数小于1，商大于被除数的规律。
- 3.7. 忽略单位换算，导致结果错误。
