《五年级上册数学北师大版第一单元小数除法思维导图》

中心主题：小数除法

• 一、 除数是整数的小数除法

  • 核心概念： 将小数除法转化为整数除法。
  • 计算方法：
    • 竖式计算：
      • 对齐数位。
      • 整数部分够除就直接除。
      • 整数部分不够除，商0占位，点小数点。
      • 余数不够除，添0继续除。
    • 商的小数点位置： 与被除数的小数点对齐。
    • 除到末尾仍有余数： 在余数后面添0继续除。
  • 特殊情况：
    • 被除数小于除数：商小于1，整数部分为0。
    • 除到个位仍有余数：在余数后添0继续除，直到除尽或达到题目要求。
  • 验算方法： 商 × 除数 = 被除数
  • 应用： 解决简单的平均分配问题。
  • 易错点： 小数点位置的确定；商中间有0的情况。
  • 提升： 结合实际情境理解小数除法的意义。

• 二、 除数是小数的除法

  • 核心概念： 将除数转化为整数。
  • 转化方法：
    • 小数点移动： 被除数和除数同时扩大相同的倍数，使除数变成整数。
    • 移动的位数： 以除数的小数位数决定（例如：除数为2.5，则移动一位；除数为0.75，则移动两位）。
  • 计算方法：
    • 转化： 将除数是小数的除法转化为除数是整数的除法。
    • 竖式计算： 按照除数是整数的小数除法进行计算。
  • 小数点位置：
    • 移动： 被除数的小数点也要相应移动相同的位数。
    • 对齐： 商的小数点要与被除数的小数点对齐（是指移动小数点后的被除数）。
  • 特殊情况：
    • 被除数位数不够：在被除数的末尾添0补足位数。
    • 除到末尾仍有余数：在被除数末尾添0继续除，直到除尽或达到题目要求。
  • 验算方法： 商 × 除数 = 被除数
  • 应用： 解决涉及小数的实际问题，如单价、总价、数量的计算。
  • 易错点： 小数点移动的位数；被除数位数不够添0的位置。
  • 提升： 理解商不变的性质在小数除法中的应用。

• 三、 商的近似数

  • 核心概念： 根据要求保留相应位数的小数。
  • 方法：
    • 计算： 除到比要保留的位数多一位。
    • 四舍五入： 根据下一位数字决定是舍去还是进一。
  • 保留位数：
    • 保留一位小数： 精确到十分位。
    • 保留两位小数： 精确到百分位。
    • 保留三位小数： 精确到千分位。
  • 写法： 使用约等号“≈”。
  • 应用：
    • 实际问题： 解决生活中的问题，如保留单价、平均数的近似值。
    • 避免歧义： 更合理地表示数量关系。
  • 易错点： 没有除到比要求保留的位数多一位就进行四舍五入；忘记使用约等号。
  • 提升： 结合生活实际理解近似数的意义，例如：人民币的表示，身高的测量等等。

• 四、 循环小数

  • 核心概念： 一个小数从某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。
  • 定义要素：
    • 重复出现： 必须是不断重复出现相同的数字或数字组合。
    • 循环节： 循环小数中，重复出现的数字或数字组合。
  • 写法：
    • 省略号： 用“…”表示无限循环，例如：3.333…。
    • 循环节上加点： 在循环节的第一个和最后一个数字上面各点一个点，例如：3.3（上面有点）。如果循环节只有一个数字，只在这个数字上面点一个点。
  • 分类：
    • 纯循环小数： 循环节从小数点后第一位开始的循环小数。
    • 混循环小数： 循环节不是从小数点后第一位开始的循环小数。
  • 有限小数： 小数部分的位数是有限的（可以除尽）。
  • 无限小数： 小数部分的位数是无限的（包括循环小数和无限不循环小数）。
  • 应用： 某些无法除尽的计算结果，用循环小数表示更加精确。
  • 易错点： 混淆循环小数和无限不循环小数；循环节的判断。
  • 提升： 通过观察和计算，发现循环小数的规律。

• 五、 用计算器探索规律

  • 目的： 利用计算器快速进行计算，发现算式中的规律。
  • 操作：
    • 正确输入： 确保数字和运算符号输入正确。
    • 多次尝试： 多次计算，观察结果之间的联系。
  • 规律类型：
    • 商的规律： 观察商的位数、循环节等特点。
    • 积的规律： 观察积的变化规律。
    • 数列规律： 观察数列中数字之间的关系。
  • 应用：
    • 快速计算： 利用规律快速计算类似题目。
    • 验证答案： 验证计算结果的正确性。
  • 注意点：
    • 计算器的限制： 计算器只能显示有限位的小数，需要结合理论知识判断循环小数。
    • 规律的适用范围： 确认规律是否适用于所有情况。
  • 提升： 培养观察、分析和归纳的能力，并将规律应用于解决问题。

• 六、解决问题

  • 审题： 理解题意，明确已知条件和所求问题。
  • 分析： 分析数量关系，找到解题思路。
  • 列式： 根据数量关系列出算式。
  • 计算： 认真计算，注意小数点位置。
  • 检验： 验算计算结果是否正确，符合题意。
  • 作答： 完整作答，写明单位名称。
  • 题型：
    • 归一问题： 先求出一份的数量，再求出总数。
    • 归总问题： 先求出总数，再求出一份的数量。
    • 行程问题： 运用路程、速度和时间的关系解决问题。
    • 平均数问题： 运用平均数的计算公式解决问题。
    • 购物问题： 涉及单价、总价、数量的计算。
  • 提升： 培养综合运用所学知识解决实际问题的能力。注意单位的统一和实际意义。

总结： 小数除法是小学数学的重要组成部分，掌握其计算方法和应用，能够更好地解决生活中的实际问题。需要熟练掌握竖式计算，理解小数点移动的规律，并能够灵活运用所学知识解决问题。