《初二上册数学思维导图》

一、代数

1. 整式的乘除与因式分解

• 1.1 整式的乘法

  • 单项式乘以单项式： 系数相乘，相同字母的指数相加，不同字母照抄。
    • 示例：(2x²y) * (3xy³) = 6x³y⁴
  • 单项式乘以多项式： 用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加。
    • 示例：2x * (x² + 3x - 1) = 2x³ + 6x² - 2x
  • 多项式乘以多项式： 用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
    • 示例：(x + 2)(x - 3) = x² - 3x + 2x - 6 = x² - x - 6
  • 乘法公式：
    • 平方差公式： (a + b)(a - b) = a² - b²
      • 特点：两数和乘以两数差，结果是两数的平方差。
      • 应用：简化计算，因式分解。
    • 完全平方公式： (a ± b)² = a² ± 2ab + b²
      • 特点：两数和（差）的平方，结果是两数的平方和加上（减去）这两数积的2倍。
      • 应用：简化计算，因式分解。

• 1.2 幂的运算

  • 同底数幂的乘法： aᵐ * aⁿ = aᵐ⁺ⁿ (m, n为正整数)
    • 特点：底数相同，指数相加。
  • 幂的乘方： (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ (m, n为正整数)
    • 特点：指数相乘。
  • 积的乘方： (ab)ⁿ = aⁿbⁿ (n为正整数)
    • 特点：每个因式都要乘方。
  • 同底数幂的除法： aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ (a ≠ 0, m, n为正整数，且m > n)
    • 特点：底数相同，指数相减。
  • 零指数幂： a⁰ = 1 (a ≠ 0)
  • 负指数幂： a⁻ᵖ = 1/aᵖ (a ≠ 0, p为正整数)
  • 科学计数法： a * 10ⁿ (1 ≤ |a| < 10, n为整数)

• 1.3 因式分解

  • 定义： 把一个多项式化为几个整式的积的形式。
  • 方法：
    • 提公因式法： ma + mb + mc = m(a + b + c)
      • 步骤：确定公因式，提取公因式。
    • 运用公式法：
      • 平方差公式：a² - b² = (a + b)(a - b)
      • 完全平方公式：a² ± 2ab + b² = (a ± b)²
    • 十字相乘法： (适用于二次三项式)
      • 示例：x² + (p + q)x + pq = (x + p)(x + q)
  • 步骤：
    1. 先提公因式（若有）
    2. 再运用公式
    3. 检查是否分解彻底

2. 分式

• 2.1 分式的概念

  • 定义： 形如A/B的式子，其中A、B是整式，且B中含有字母，B≠0。
  • 分式有意义的条件： 分母不为零。
  • 分式的值为零的条件： 分子为零，且分母不为零。

• 2.2 分式的基本性质

  • 性质： 分式的分子、分母同乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。
    • A/B = (A M)/(B M) = (A ÷ M)/(B ÷ M) (M ≠ 0)
  • 约分： 把分式分子和分母的公因式约去，化简分式。
  • 通分： 将几个分母不同的分式化为同分母的分式。
    • 最简公分母： 各分母所有因式的最高次幂的积。

• 2.3 分式的运算

  • 分式的乘除法：
    • 乘法：A/B C/D = (A C)/(B * D)
    • 除法：A/B ÷ C/D = A/B D/C = (A D)/(B * C) (C ≠ 0)
  • 分式的加减法：
    • 同分母：A/C ± B/C = (A ± B)/C
    • 异分母：先通分，再加减。
  • 分式方程： 含有分式且分母中含有未知数的方程。
    • 解分式方程步骤：
      1. 去分母（方程两边都乘以最简公分母）
      2. 解整式方程
      3. 验根（把根代入最简公分母，看是否等于零）
    • 增根： 使最简公分母为零的根。

二、几何

3. 三角形

• 3.1 与三角形有关的线段

  • 高： 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段。
  • 中线： 连接三角形的一个顶点和它的对边中点的线段。
  • 角平分线： 三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段。
  • 三角形的性质：
    • 三角形的任意两边之和大于第三边。
    • 三角形的任意两边之差小于第三边。

• 3.2 与三角形有关的角

  • 内角和定理： 三角形三个内角的和等于180°。
  • 外角： 三角形的一边与另一边的延长线组成的角。
  • 外角的性质：
    • 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
    • 三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角。

• 3.3 全等三角形

  • 定义： 能够完全重合的两个三角形。
  • 性质： 全等三角形的对应边相等，对应角相等。
  • 判定方法：
    • SSS（边边边）： 三边对应相等的两个三角形全等。
    • SAS（边角边）： 两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。
    • ASA（角边角）： 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。
    • AAS（角角边）： 两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等。
    • HL（斜边、直角边）： 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。（适用于直角三角形）

• 3.4 角的平分线的性质

  • 性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
  • 逆定理： 到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上。

4. 轴对称图形

• 4.1 轴对称

  • 定义： 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
  • 性质： 对应点所连的线段被对称轴垂直平分。

• 4.2 线段的垂直平分线的性质

  • 性质： 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。
  • 逆定理： 到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。

• 4.3 等腰三角形

  • 定义： 有两条边相等的三角形。
  • 性质：
    • 等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）。
    • 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）。
  • 判定：
    • 有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）。

• 4.4 等边三角形

  • 定义： 三条边都相等的三角形。
  • 性质：
    • 等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°。
  • 判定：
    • 三个角都相等的三角形是等边三角形。
    • 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

三、数据分析初步

5. 数据的收集、整理与描述

• 5.1 数据的收集

  • 调查方式： 普查，抽样调查。
  • 抽样调查的注意事项：
    • 样本的选取要具有代表性。
    • 样本容量要适当。

• 5.2 数据的整理与表示

  • 统计表： 条形统计图、扇形统计图、折线统计图。
  • 各种统计图的特点：
    • 条形统计图：能清楚地表示出每个项目的具体数目。
    • 扇形统计图：能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比。
    • 折线统计图：能清楚地反映事物的变化情况。

• 5.3 数据的描述

  • 平均数： 所有数据的和除以数据的个数。
    • 加权平均数：每个数据乘以它的权重后求和，再除以权重的和。
  • 中位数： 将数据按大小顺序排列，位于中间位置的数（或中间两个数的平均数）。
  • 众数： 数据中出现次数最多的数。
  • 方差： 各数据与其平均数的差的平方的平均数。
  • 标准差： 方差的算术平方根。
  • 用样本估计总体： 用样本的平均数、方差等来估计总体的平均数、方差等。