《人教版六年级上册数学思维导图》

一、数与代数

1. 分数乘法

• 意义：
  • 分数乘整数：求几个相同分数的和的简便运算。
  • 分数乘分数：求一个数的几分之几是多少。
• 计算法则：
  • 分数乘整数：分子与整数相乘的积作分子，分母不变。 能约分的要先约分，再计算。
  • 分数乘分数：分子乘分子，分母乘分母。能约分的要先约分，再计算。
• 倒数的认识：
  • 定义：乘积是1的两个数互为倒数。
  • 求一个数的倒数：
    • 求整数的倒数：把整数看作分母是1的分数，分子分母颠倒位置。
    • 求分数的倒数：分子分母颠倒位置。
    • 求小数的倒数：先把小数化成分数，再分子分母颠倒位置。
  • 1的倒数是1，0没有倒数。
• 乘法运算定律推广到分数：
  • 交换律：a × b = b × a
  • 结合律：(a × b) × c = a × (b × c)
  • 分配律：(a + b) × c = a × c + b × c
• 解决问题：
  • 求一个数的几分之几是多少的应用题。（用乘法计算）
  • 连续求一个数的几分之几是多少的应用题。（连乘或乘法分配律简化计算）

2. 分数除法

• 意义：
  • 已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。
  • 是分数乘法的逆运算。
• 计算法则：
  • 除以一个数（0除外），等于乘这个数的倒数。
• 解决问题：
  • 已知一个数的几分之几是多少，求这个数的应用题。（用除法计算，也可以用方程解）
  • “比”的问题，转化为分数除法。
• 比的意义：
  • 两个数相除又叫做两个数的比。
• 比的基本性质：
  • 比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外)，比值不变。
• 化简比：
  • 整数比：前项和后项同时除以它们的最大公因数。
  • 分数比：前项和后项同时乘以它们分母的最小公倍数，再化简成最简整数比。
  • 小数比：先把小数转化为整数比，再化简成最简整数比。
• 比的应用：
  • 按比例分配的应用题。
• 分数混合运算：
  • 运算顺序与整数混合运算相同。
  • 能简算的要简算。（乘法运算定律的应用）

二、图形与几何

1. 位置与方向（二）

• 确定位置：
  • 用方向（角度）和距离描述物体的位置。
  • 一般先确定方向，再确定距离。
  • 通常以观测点为中心。
• 描述路线图：
  • 按照一定的顺序，依次描述每段路程的方向和距离。
  • 起点、方向、距离、终点。
• 绘制路线图：
  • 确定方向标。
  • 确定比例尺。
  • 标出起点的位置。
  • 按照一定的顺序，依次绘制每段路程的方向和距离。

2. 圆

• 圆的认识：
  • 圆心(O)：圆中心的一点，决定圆的位置。
  • 半径(r)：连接圆心和圆上任意一点的线段，决定圆的大小。
  • 直径(d)：通过圆心并且两端都在圆上的线段。
  • d = 2r, r = d/2
• 圆的周长：
  • 周长的意义：围成圆一周的曲线的长度。
  • 周长的计算公式：C = πd = 2πr (π≈3.14)
• 圆的面积：
  • 面积的意义：圆所占平面的大小。
  • 面积的计算公式：S = πr²
• 环形的面积：
  • 外圆半径为R，内圆半径为r，则环形面积S = πR² - πr² = π(R² - r²)
• 扇形：
  • 定义：圆上两点之间的部分叫做弧，由一条弧和经过这条弧的两端点的两条半径所围成的图形叫做扇形。
  • 圆心角：在圆心角的顶点是圆心，角的两边是半径。
  • 扇形面积：S = (n/360)πr² (n为圆心角的度数)
• 轴对称图形：
  • 如果一个图形沿一条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫做轴对称图形。这条直线叫做对称轴。

三、统计与概率

1. 扇形统计图

• 意义：
  • 用整个圆表示总数，用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分比。
• 特点：
  • 能够清楚地表示各部分数量占总数的百分比。
  • 可以直观地看出各部分数量之间的关系。
• 绘制扇形统计图：
  • 计算各部分数量占总数的百分比。
  • 计算各部分扇形的圆心角。（圆心角 = 百分比 × 360°）
  • 绘制扇形。
  • 标注名称和百分比。
• 优点和缺点：
  • 优点：能清楚地反映各部分数量占总数的百分比。
  • 缺点：不能直接看出各部分数量的多少。

四、数学广角——鸡兔同笼

• 基本思路：
  • 假设法：假设全是鸡或全是兔。
  • 方程法：设鸡或兔的数量为未知数，列方程解。
• 解题方法：
  • 假设全是鸡：总脚数 - 实际总脚数 = 每只兔子比每只鸡多的脚数 × 兔子数量
  • 假设全是兔：实际总脚数 - 总脚数 = 每只兔子比每只鸡多的脚数 × 鸡的数量
• 关键：
  • 理解题意，明确已知条件和所求问题。
  • 灵活运用假设法或方程法。

五、总复习

• 数的运算：
  • 四则运算的意义和计算法则。
  • 运算定律和简便计算。
  • 估算。
  • 解决实际问题。
• 常见的量：
  • 长度、面积、体积、容积、质量、时间等单位的认识。
  • 单位之间的换算。
• 空间与图形：
  • 平面图形的认识和计算。
  • 立体图形的认识和计算。
  • 位置与方向。
• 统计与概率：
  • 统计图的认识和应用。
  • 可能性的大小。
• 应用题：
  • 典型应用题的解题方法。（包括分数应用题、百分数应用题、比例应用题等）
  • 灵活运用所学知识解决实际问题。
• 综合应用：
  • 将所学知识综合运用，解决一些较为复杂的问题。
• 查缺补漏：
  • 针对薄弱环节，进行重点复习和巩固。

This mind map outlines the key concepts and topics covered in the sixth-grade upper-level mathematics textbook published by the People's Education Press (Renjiao Ban). It is intended to provide a comprehensive overview for students to review and consolidate their understanding of the material. Each section is further broken down into sub-topics to facilitate a more structured and focused review process.