《数学七年级思维导图有理数》
一、有理数概念总览
mermaid graph LR A[有理数] --> B{整数}; A --> C{分数};
B --> D[正整数];
B --> E[0];
B --> F[负整数];
C --> G[正分数];
C --> H[负分数];1.1 概念定义
- 有理数： 可以写成两个整数之比（即分数）的数。包括整数和分数。
- 整数： 正整数、0、负整数的统称。
- 分数： 可以写成 a/b 形式的数，其中 a, b 为整数且 b ≠ 0。
1.2 有理数的分类
- 按定义分类： 整数、分数。
- 按正负分类： 正有理数（正整数、正分数）、0、负有理数（负整数、负分数）。 注意0既不是正数，也不是负数。
1.3 数轴
- 定义： 规定了原点、正方向和单位长度的直线。
- 要素： 原点、正方向、单位长度。
- 作用： 直观地表示数，所有有理数都可以用数轴上的点表示。
二、有理数的大小比较
mermaid graph LR A[有理数大小比较] --> B{数轴法}; A --> C{绝对值法}; A --> D{法则};
B --> E[右边的数总比左边的数大];
C --> F[两个负数，绝对值大的反而小];
C --> G[正数 > 0 > 负数];
D --> H[正数大于一切负数];
D --> I[两个正数，绝对值大的较大];2.1 数轴比较法
数轴上，右边的数总比左边的数大。
2.2 绝对值比较法
- 正数大于一切负数。
- 两个正数，绝对值大的较大。
- 两个负数，绝对值大的反而小。
2.3 符号法则
正数 > 0 > 负数。
三、有理数的运算
mermaid graph LR A[有理数运算] --> B{加法}; A --> C{减法}; A --> D{乘法}; A --> E{除法}; A --> F{乘方};
B --> B1[同号相加，取相同的符号，并把绝对值相加];
B --> B2[异号相加，绝对值相等时和为0，绝对值不相等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值];
B --> B3[加法交换律 a+b=b+a];
B --> B4[加法结合律 (a+b)+c=a+(b+c)];
C --> C1[减去一个数，等于加上这个数的相反数 a-b=a+(-b)];
D --> D1[两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘];
D --> D2[任何数同0相乘，都得0];
D --> D3[乘法交换律 ab=ba];
D --> D4[乘法结合律 (ab)c=a(bc)];
D --> D5[乘法分配律 a(b+c)=ab+ac];
E --> E1[除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数 a/b = a*(1/b) (b≠0)];
E --> E2[两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除];
E --> E3[0除以任何非0的数都得0];
F --> F1[求n个相同因数的积的运算 an=a*a*...*a(n个a)];
F --> F2[正数的任何次幂都是正数];
F --> F3[负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数];
F --> F4[0的任何正整数次幂都是0];3.1 加法
- 法则：
- 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
- 绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。
- 一个数同0相加，仍得这个数。
- 运算律：
- 加法交换律：a + b = b + a
- 加法结合律：(a + b) + c = a + (b + c)
3.2 减法
- 法则： 减去一个数，等于加上这个数的相反数。 即 a - b = a + (-b)
3.3 乘法
- 法则：
- 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
- 任何数同0相乘，都得0。
- 运算律：
- 乘法交换律：a × b = b × a
- 乘法结合律：(a × b) × c = a × (b × c)
- 乘法分配律：a × (b + c) = a × b + a × c
3.4 除法
- 法则：
- 除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数。
- 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
- 0除以任何非0的数都得0。
- 注意： 0不能做除数。
3.5 乘方
- 定义： 求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。
- 表示： an (a为底数，n为指数，an 为幂)
- 性质：
- 正数的任何次幂都是正数。
- 负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数。
- 0的任何正整数次幂都是0。
四、混合运算
mermaid graph LR A[有理数混合运算] --> B{运算顺序}; B --> B1[先乘方，再乘除，最后加减]; B --> B2[同级运算，从左到右]; B --> B3[有括号，先算括号内的];
4.1 运算顺序
- 先乘方，再乘除，最后加减。
- 同级运算，从左到右进行。
- 如有括号，先算括号里面的，按小括号、中括号、大括号依次进行。
4.2 运算技巧
- 运用运算律简化运算。
- 注意符号问题，特别是负号。
- 将除法转化为乘法，简化运算。
五、科学计数法和近似数
mermaid graph LR A[科学计数法和近似数] --> B{科学计数法}; A --> C{近似数};
B --> B1[a×10n (1≤|a|<10，n为整数)];
C --> C1[精确度];
C --> C2[有效数字];5.1 科学计数法
- 定义： 将一个绝对值大于10的数表示成 a × 10n 的形式，其中 1 ≤ |a| < 10，n为正整数。
- 书写： 将小数点移动到第一个非零数字后面，并记录移动的位数，移动的位数即为n的值。
5.2 近似数
- 精确度： 表示近似数与准确数的接近程度。一般用“精确到某位”表示。
- 有效数字： 从左边第一个不是0的数字起，到末位数字为止，所有的数字都叫做这个数的有效数字。
六、应用
- 有理数运算在实际生活中的应用，如：温度变化、盈亏计算、水位变化等。
- 灵活运用有理数的知识解决实际问题。