数学七年级思维导图有理数
# 《数学七年级思维导图有理数》
## 一、有理数概念总览
mermaid
graph LR
A[有理数] --> B{整数};
A --> C{分数};
B --> D[正整数];
B --> E[0];
B --> F[负整数];
C --> G[正分数];
C --> H[负分数];
### 1.1 概念定义
* **有理数：** 可以写成两个整数之比（即分数）的数。包括整数和分数。
* **整数：** 正整数、0、负整数的统称。
* **分数：** 可以写成 a/b 形式的数，其中 a, b 为整数且 b ≠ 0。
### 1.2 有理数的分类
* **按定义分类：** 整数、分数。
* **按正负分类：** 正有理数（正整数、正分数）、0、负有理数（负整数、负分数）。 注意0既不是正数，也不是负数。
### 1.3 数轴
* **定义：** 规定了原点、正方向和单位长度的直线。
* **要素：** 原点、正方向、单位长度。
* **作用：** 直观地表示数，所有有理数都可以用数轴上的点表示。
## 二、有理数的大小比较
mermaid
graph LR
A[有理数大小比较] --> B{数轴法};
A --> C{绝对值法};
A --> D{法则};
B --> E[右边的数总比左边的数大];
C --> F[两个负数，绝对值大的反而小];
C --> G[正数 > 0 > 负数];
D --> H[正数大于一切负数];
D --> I[两个正数，绝对值大的较大];
### 2.1 数轴比较法
数轴上，右边的数总比左边的数大。
### 2.2 绝对值比较法
* 正数大于一切负数。
* 两个正数，绝对值大的较大。
* 两个负数，绝对值大的反而小。
### 2.3 符号法则
正数 > 0 > 负数。
## 三、有理数的运算
mermaid
graph LR
A[有理数运算] --> B{加法};
A --> C{减法};
A --> D{乘法};
A --> E{除法};
A --> F{乘方};
B --> B1[同号相加，取相同的符号，并把绝对值相加];
B --> B2[异号相加，绝对值相等时和为0，绝对值不相等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值];
B --> B3[加法交换律 a+b=b+a];
B --> B4[加法结合律 (a+b)+c=a+(b+c)];
C --> C1[减去一个数，等于加上这个数的相反数 a-b=a+(-b)];
D --> D1[两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘];
D --> D2[任何数同0相乘，都得0];
D --> D3[乘法交换律 ab=ba];
D --> D4[乘法结合律 (ab)c=a(bc)];
D --> D5[乘法分配律 a(b+c)=ab+ac];
E --> E1[除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数 a/b = a*(1/b) (b≠0)];
E --> E2[两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除];
E --> E3[0除以任何非0的数都得0];
F --> F1[求n个相同因数的积的运算 an=a*a*...*a(n个a)];
F --> F2[正数的任何次幂都是正数];
F --> F3[负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数];
F --> F4[0的任何正整数次幂都是0];
### 3.1 加法
* **法则：**
* 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
* 绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。
* 一个数同0相加，仍得这个数。
* **运算律：**
* 加法交换律：a + b = b + a
* 加法结合律：(a + b) + c = a + (b + c)
### 3.2 减法
* **法则：** 减去一个数，等于加上这个数的相反数。 即 a - b = a + (-b)
### 3.3 乘法
* **法则：**
* 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
* 任何数同0相乘，都得0。
* **运算律：**
* 乘法交换律：a × b = b × a
* 乘法结合律：(a × b) × c = a × (b × c)
* 乘法分配律：a × (b + c) = a × b + a × c
### 3.4 除法
* **法则：**
* 除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数。
* 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
* 0除以任何非0的数都得0。
* **注意：** 0不能做除数。
### 3.5 乘方
* **定义：** 求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。
* **表示：** an (a为底数，n为指数，an 为幂)
* **性质：**
* 正数的任何次幂都是正数。
* 负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数。
* 0的任何正整数次幂都是0。
## 四、混合运算
mermaid
graph LR
A[有理数混合运算] --> B{运算顺序};
B --> B1[先乘方，再乘除，最后加减];
B --> B2[同级运算，从左到右];
B --> B3[有括号，先算括号内的];
### 4.1 运算顺序
1. 先乘方，再乘除，最后加减。
2. 同级运算，从左到右进行。
3. 如有括号，先算括号里面的，按小括号、中括号、大括号依次进行。
### 4.2 运算技巧
* 运用运算律简化运算。
* 注意符号问题，特别是负号。
* 将除法转化为乘法，简化运算。
## 五、科学计数法和近似数
mermaid
graph LR
A[科学计数法和近似数] --> B{科学计数法};
A --> C{近似数};
B --> B1[a×10n (1≤|a|<10，n为整数)];
C --> C1[精确度];
C --> C2[有效数字];
### 5.1 科学计数法
* **定义：** 将一个绝对值大于10的数表示成 a × 10n 的形式，其中 1 ≤ |a| < 10，n为正整数。
* **书写：** 将小数点移动到第一个非零数字后面，并记录移动的位数，移动的位数即为n的值。
### 5.2 近似数
* **精确度：** 表示近似数与准确数的接近程度。一般用“精确到某位”表示。
* **有效数字：** 从左边第一个不是0的数字起，到末位数字为止，所有的数字都叫做这个数的有效数字。
## 六、应用
* 有理数运算在实际生活中的应用，如：温度变化、盈亏计算、水位变化等。
* 灵活运用有理数的知识解决实际问题。
相关思维导图推荐
分享思维导图