《微积分思维导图》

一、 导言

• 微积分的重要性：
  • 现代科学技术的基础
  • 解决实际问题的强大工具
  • 高等数学的基石
• 思维导图的目的：
  • 梳理知识体系
  • 建立知识联系
  • 提升理解和记忆
• 学习建议：
  • 理解概念本质
  • 注重实际应用
  • 勤加练习思考

二、 核心概念

2.1 极限与连续

• 极限 (Limit):
  • 定义： 函数值或序列值趋近于某个特定值。
  • 符号： lim (x→a) f(x) = L
  • 类型：
    • 函数极限
      • x→a，f(x)→L
      • x→+∞，f(x)→L
      • x→-∞，f(x)→L
    • 数列极限
      • n→∞，a_n→L
  • 性质：
    • 唯一性
    • 局部有界性
    • 保号性
    • 四则运算
  • 计算方法：
    • ε-δ定义
    • 重要极限 (lim (x→0) sin(x)/x = 1, lim (x→∞) (1+1/x)^x = e)
    • 洛必达法则
    • 夹逼定理
    • 等价无穷小替换
• 连续 (Continuity):
  • 定义： 函数在某点处极限存在且等于函数值。
  • 条件：
    • f(x) 在 x = a 处有定义
    • lim (x→a) f(x) 存在
    • lim (x→a) f(x) = f(a)
  • 类型：
    • 左连续
    • 右连续
  • 间断点：
    • 第一类间断点
      • 可去间断点
      • 跳跃间断点
    • 第二类间断点
      • 无穷间断点
      • 震荡间断点
  • 性质：
    • 连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍然连续
    • 复合函数连续性
    • 介值定理
    • 最大值最小值定理

2.2 微分学 (Differential Calculus)

• 导数 (Derivative):
  • 定义： 函数在某点处的切线斜率，表示函数在该点处的变化率。
  • 符号： f'(x) 或 dy/dx
  • 计算：
    • 定义法 (极限)
    • 求导公式
      • 幂函数
      • 指数函数
      • 对数函数
      • 三角函数
      • 反三角函数
    • 求导法则
      • 四则运算求导
      • 复合函数求导 (链式法则)
      • 反函数求导
      • 隐函数求导
      • 参数方程求导
  • 应用：
    • 切线与法线
    • 函数单调性
    • 函数极值与最值
    • 函数凹凸性与拐点
    • 曲线的渐近线
    • 最优化问题
• 微分 (Differential):
  • 定义： 函数增量的线性主要部分。
  • 符号： dy = f'(x)dx
  • 几何意义： 切线上增量
  • 应用： 近似计算
• 中值定理 (Mean Value Theorem):
  • 罗尔定理 (Rolle's Theorem):
    • 条件：
      • f(x) 在 [a, b] 上连续
      • f(x) 在 (a, b) 上可导
      • f(a) = f(b)
    • 结论： 存在 ξ ∈ (a, b) ，使得 f'(ξ) = 0
  • 拉格朗日中值定理 (Lagrange's Mean Value Theorem):
    • 条件：
      • f(x) 在 [a, b] 上连续
      • f(x) 在 (a, b) 上可导
    • 结论： 存在 ξ ∈ (a, b) ，使得 f'(ξ) = (f(b) - f(a))/(b - a)
  • 柯西中值定理 (Cauchy's Mean Value Theorem):
    • 条件：
      • f(x) 和 g(x) 在 [a, b] 上连续
      • f(x) 和 g(x) 在 (a, b) 上可导
      • g'(x) ≠ 0
    • 结论： 存在 ξ ∈ (a, b) ，使得 [f(b) - f(a)]/[g(b) - g(a)] = f'(ξ)/g'(ξ)

2.3 积分学 (Integral Calculus)

• 不定积分 (Indefinite Integral):
  • 定义： 已知函数的导数，求原函数的过程。
  • 符号： ∫f(x) dx = F(x) + C
  • 性质：
    • (∫f(x) dx)' = f(x)
    • ∫f'(x) dx = f(x) + C
  • 基本积分公式： 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。
  • 积分方法：
    • 直接积分法
    • 换元积分法 (第一类换元、第二类换元)
    • 分部积分法
• 定积分 (Definite Integral):
  • 定义： 函数在某个区间上的积分值，表示曲线与x轴围成的面积。
  • 符号： ∫(a to b) f(x) dx
  • 几何意义： 曲线与x轴围成的面积的代数和。
  • 性质：
    • 线性性质
    • 区间可加性
    • 积分中值定理
  • 计算：
    • 牛顿-莱布尼茨公式：∫(a to b) f(x) dx = F(b) - F(a)
    • 换元积分法
    • 分部积分法
• 反常积分 (Improper Integral):
  • 定义： 积分区间为无穷区间或被积函数在积分区间内有无穷间断点的积分。
  • 类型：
    • 无穷区间上的反常积分
    • 瑕积分 (无界函数的反常积分)
  • 敛散性判别：
    • 比较判别法
    • 极限判别法
• 定积分的应用：
  • 求平面图形的面积
  • 求旋转体的体积
  • 求曲线的弧长
  • 求变力做功
  • 求平均值

三、 多元函数微积分

• 多元函数极限与连续
• 偏导数与全微分
• 多元复合函数求导
• 隐函数求导
• 多元函数极值
  • 无条件极值
  • 条件极值 (拉格朗日乘数法)
• 重积分
  • 二重积分
    • 直角坐标
    • 极坐标
  • 三重积分
    • 直角坐标
    • 柱面坐标
    • 球面坐标
• 曲线积分
  • 第一类曲线积分 (对弧长的积分)
  • 第二类曲线积分 (对坐标的积分)
  • 格林公式
• 曲面积分
  • 第一类曲面积分 (对面积的积分)
  • 第二类曲面积分 (对坐标的积分)
  • 高斯公式
  • 斯托克斯公式

四、 微分方程

• 基本概念： 阶数，解，通解，特解。
• 一阶微分方程：
  • 可分离变量的微分方程
  • 齐次微分方程
  • 一阶线性微分方程
  • 伯努利方程
• 高阶线性微分方程：
  • 二阶常系数齐次线性微分方程
  • 二阶常系数非齐次线性微分方程
• 微分方程的应用：
  • 物理
  • 工程
  • 经济

五、 级数

• 数项级数：
  • 收敛与发散
  • 正项级数
    • 比较判别法
    • 比值判别法
    • 根值判别法
  • 交错级数 (莱布尼茨判别法)
  • 绝对收敛与条件收敛
• 函数项级数：
  • 一致收敛
  • 幂级数
    • 收敛半径与收敛区间
    • 泰勒级数与麦克劳林级数
    • 常用函数的泰勒展开式
• 傅里叶级数：
  • 三角函数系的正交性
  • 傅里叶级数展开
  • 狄利克雷收敛定理

六、 总结

• 微积分是高等数学的重要组成部分。
• 熟练掌握微积分的基本概念、公式和方法是解决实际问题的关键。
• 不断练习和思考是学好微积分的有效途径。

该思维导图旨在梳理微积分的主要知识点，帮助学习者建立完整的知识体系。 在实际学习中，还需要结合课本、习题和实践进行深入理解和应用。