《高一数学第一章思维导图》

一、 集合 (Set)

1. 集合的基本概念

1.1 定义与特性

• 定义: 把一些能够 明确区分 的 不同 对象看成一个 整体，这个整体就叫做集合 (简称集)。组成集合的各个对象叫做这个集合的 元素。
  • 特性:
    • 确定性 (Determinacy): 给定一个集合，任何一个对象是或不是这个集合的元素是确定的。
    • 互异性 (Distinctness): 集合中的元素必须是不同的，不能重复。
    • 无序性 (Unorderedness): 集合中的元素没有固定的顺序， {a, b, c} 与 {c, b, a} 表示同一个集合。

1.2 元素与集合的关系

• 属于 (∈): 如果对象 a 是集合 A 的元素，记作 a ∈ A。
  • 不属于 (∉): 如果对象 a 不是集合 A 的元素，记作 a ∉ A。

1.3 集合的表示方法

• 列举法 (Roster Method): 把集合中的所有元素一一列举出来，并用花括号 {} 括起来。
  • 示例: {1, 2, 3}, {a, b, c}, {北京, 上海, 广州}
    • 描述法 (Set-Builder Notation): 用文字或符号描述集合中元素的共同特征。格式：{x | P(x)}，其中 x 是集合的代表元素，P(x) 是元素 x 应满足的性质。
  • 示例: {x | x 是大于 5 的整数}, { (x, y) | y = x^2 }
    • 图示法 (Venn Diagram): 用平面上的封闭曲线（通常是圆形或矩形）表示集合，曲线内部代表集合的元素。

1.4 常用数集及其符号

• 自然数集 (Natural Numbers): N = {0, 1, 2, 3, ...} (部分教材不含0，需根据教材确定)
  • 正整数集 (Positive Integers): N* 或 N+ = {1, 2, 3, ...}
  • 整数集 (Integers): Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}
  • 有理数集 (Rational Numbers): Q = { p/q | p ∈ Z, q ∈ N*, p与q互质 } (所有可以表示为整数分数形式的数)
  • 实数集 (Real Numbers): R (包括有理数和无理数)
  • 空集 (Empty Set): ∅ 或 {} (不含任何元素的集合)
  • 全集 (Universal Set): U (包含了我们所研究问题中涉及的所有元素的集合)

2. 集合间的基本关系

2.1 子集 (Subset)

• 定义: 如果集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 的元素，那么集合 A 叫做集合 B 的子集 (或 A 包含于 B)。记作 A ⊆ B 或 B ⊇ A。
  • 性质:
    • 任何一个集合是其自身的子集：A ⊆ A。
    • 空集是任何集合的子集：∅ ⊆ A。
    • 传递性：如果 A ⊆ B 且 B ⊆ C，那么 A ⊆ C。

2.2 真子集 (Proper Subset)

• 定义: 如果集合 A ⊆ B，并且集合 B 中 至少存在一个元素 不属于集合 A，那么集合 A 叫做集合 B 的真子集。记作 A ⊂ B 或 B ⊃ A (注意符号区别，有的教材用 subsetneq)。
  • 性质:
    • 空集是任何非空集合的真子集。
    • 传递性：如果 A ⊂ B 且 B ⊂ C (或 B ⊆ C)，那么 A ⊂ C。

2.3 集合相等 (Equality of Sets)

• 定义: 如果两个集合互相包含，即 A ⊆ B 且 B ⊆ A，那么称这两个集合相等。记作 A = B。
  • 判定: 两个集合相等，当且仅当它们含有完全相同的元素。

3. 集合的基本运算

3.1 并集 (Union)

• 定义: 由所有属于集合 A 或 属于集合 B 的元素组成的集合，叫做 A 与 B 的并集。记作 A ∪ B。
  • 符号表示: A ∪ B = {x | x ∈ A 或 x ∈ B}
  • 性质:
    • A ∪ ∅ = A
    • A ∪ A = A
    • A ∪ B = B ∪ A (交换律)
    • (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (结合律)
    • A ⊆ (A ∪ B), B ⊆ (A ∪ B)

3.2 交集 (Intersection)

• 定义: 由所有 既 属于集合 A 又 属于集合 B 的元素组成的集合，叫做 A 与 B 的交集。记作 A ∩ B。
  • 符号表示: A ∩ B = {x | x ∈ A 且 x ∈ B}
  • 性质:
    • A ∩ ∅ = ∅
    • A ∩ A = A
    • A ∩ B = B ∩ A (交换律)
    • (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) (结合律)
    • (A ∩ B) ⊆ A, (A ∩ B) ⊆ B

3.3 补集 (Complement)

• 定义: 设 U 是全集，A 是 U 的一个子集。由 U 中 不属于 A 的所有元素组成的集合，叫做 A 相对于 U 的补集 (简称 A 的补集)。记作 ∁<sub>U</sub>A 或 A' (当全集明确时)。
  • 符号表示: ∁<sub>U</sub>A = {x | x ∈ U 且 x ∉ A}
  • 性质:
    • A ∪ (∁<sub>U</sub>A) = U
    • A ∩ (∁<sub>U</sub>A) = ∅
    • ∁<sub>U</sub>U = ∅
    • ∁<sub>U</sub>∅ = U
    • ∁<sub>U</sub>(∁<sub>U</sub>A) = A (对合律)

3.4 集合运算的性质 (补充)

• 分配律:
  • A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) (交对并的分配律)
  • A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) (并对交的分配律)
    • 德·摩根律 (De Morgan's Laws):
  • ∁<sub>U</sub>(A ∪ B) = (∁<sub>U</sub>A) ∩ (∁<sub>U</sub>B)
  • ∁<sub>U</sub>(A ∩ B) = (∁<sub>U</sub>A) ∪ (∁<sub>U</sub>B)

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二、 函数及其表示 (Function and its Representation)

1. 函数的概念

1.1 定义

• 传统定义: 设 A, B 是两个 非空数集，如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的 任意一个数 x，在集合 B 中都有 唯一确定 的数 y 和它对应，那么就称 f: A → B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数。
  • 记作: y = f(x), x ∈ A。
  • 核心要素:
    • 定义域 (Domain): 自变量 x 的取值范围，即集合 A。
    • 值域 (Range): 函数值 y 的集合 {f(x) | x ∈ A}，值域是集合 B 的一个子集 (Range ⊆ Codomain B)。
    • 对应关系 (Mapping Rule): f，指明如何从 x 得到 y。

1.2 函数的构成要素

• 函数的三要素：定义域、值域、对应关系。
  • 两个函数相等的条件：定义域相同 且 对应关系完全一致 (与表示自变量和函数值的字母无关)。

1.3 区间的概念与表示

• 闭区间: [a, b] = {x | a ≤ x ≤ b}
  • 开区间: (a, b) = {x | a < x < b}
  • 半开半闭区间: [a, b) = {x | a ≤ x < b}, (a, b] = {x | a < x ≤ b}
  • 无穷区间: [a, +∞) = {x | x ≥ a}, (a, +∞) = {x | x > a}, (-∞, b] = {x | x ≤ b}, (-∞, b) = {x | x < b}, (-∞, +∞) = R

2. 函数的表示方法

2.1 解析法 (Analytical Method)

• 用数学表达式（等式或不等式）明确给出函数关系。
  • 优点：简洁明了，便于计算和理论推导。
  • 示例：y = 2x + 1, f(x) = x^2 - 3x + 2
  • 分段函数 (Piecewise Function): 函数在定义域的不同部分有不同的解析表达式。需要注意各段端点的取值。
    • 示例: f(x) = { x^2, if x ≥ 0; -x, if x < 0 }

2.2 列表法 (Tabular Method)

• 通过表格列出若干自变量与对应函数值。
  • 优点：直观，不需要知道具体解析式。
  • 缺点：只能表示有限个点，无法完全展现函数全貌。
  • 示例：气温随时间变化记录表。

2.3 图象法 (Graphical Method)

• 在平面直角坐标系中，用图形表示函数。函数图象是点集 {(x, y) | y = f(x), x ∈ A}。
  • 优点：直观形象地显示函数的变化趋势和性质。
  • 判定: 垂直线检验法 (Vertical Line Test) - 任何垂直于 x 轴的直线与函数图象至多只有一个交点。
  • 缺点：精确度有限，有时难以从图象得到精确的函数值或解析式。

3. 函数的定义域与值域

3.1 求函数的定义域

• 基本原则: 使函数解析式有意义的自变量的取值范围。
  • 常见类型:
    • 整式函数 (Polynomial Function): 定义域为 R。 例: y = ax + b, y = ax^2 + bx + c。
    • 分式函数 (Rational Function): 分母不为零。 例: y = 1 / (x-1), 定义域 {x | x ≠ 1}。
    • 偶次根式函数 (Even Root Function): 被开方数非负 (≥ 0)。 例: y = sqrt(x-2), 定义域 {x | x ≥ 2}。
    • 奇次根式函数 (Odd Root Function): 定义域为 R (如果根号下的式子本身有意义)。
    • 对数函数 (Logarithmic Function): 真数大于零 (> 0)。 例: y = log<sub>a</sub>(x+1), 定义域 {x | x > -1}。
    • 零次幂函数: 底数不为零。 例: y = (x-3)^0, 定义域 {x | x ≠ 3}。
    • 组合型函数: 同时满足各个组成部分的要求，通常是解不等式(组)。
    • 实际问题: 需考虑实际意义对自变量的限制。

3.2 求函数的值域

• 方法:
  • 观察法: 对于一些简单的函数，直接观察或根据其性质得到。例: y = x^2 值域 [0, +∞)。
  • 配方法: 主要用于二次函数或可化为二次函数的类型。例: y = x^2 - 4x + 5 = (x-2)^2 + 1，值域 [1, +∞)。
  • 图象法: 通过绘制函数图象，观察其纵坐标的取值范围。
  • 单调性法: 利用函数在定义域内的单调性确定值域的边界。
  • 换元法: 通过变量代换，将复杂函数转化为已知值域的简单函数。注意新变量的取值范围。
  • 不等式法: 利用基本不等式或其他不等式性质求解。
  • 反函数法 (可能后续章节学习): 求出反函数，反函数的定义域即为原函数的值域。
  • 判别式法: 将函数看作关于 x 的方程，y 作为参数，利用方程有实数解的条件（如二次方程判别式 Δ ≥ 0）求 y 的范围。适用于某些分式函数。

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三、 函数的基本性质 (Basic Properties of Functions)

1. 单调性 (Monotonicity)

1.1 定义

• 增函数 (Increasing Function): 设函数 y = f(x) 的定义域为 I，如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的 任意两个 自变量的值 x₁, x₂，当 x<sub>1</sub> < x<sub>2</sub> 时，都有 f(x<sub>1</sub>) < f(x<sub>2</sub>)，那么就说函数 y = f(x) 在区间 D 上是增函数。
  • 减函数 (Decreasing Function): 设函数 y = f(x) 的定义域为 I，如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的 任意两个 自变量的值 x₁, x₂，当 x<sub>1</sub> < x<sub>2</sub> 时，都有 f(x<sub>1</sub>) > f(x<sub>2</sub>)，那么就说函数 y = f(x) 在区间 D 上是减函数。
  • 单调函数: 如果函数 y = f(x) 在区间 D 上是增函数或减函数，那么就称函数 y = f(x) 在区间 D 上具有严格单调性，区间 D 叫做 y = f(x) 的单调区间。

1.2 判定与证明方法

• 定义法:
  1. 任取 x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub> ∈ D，且设 x<sub>1</sub> < x<sub>2</sub>。
  2. 计算 f(x<sub>1</sub>) - f(x<sub>2</sub>) (或作商 f(x<sub>1</sub>) / f(x<sub>2</sub>)，需保证函数值符号)。
  3. 判断差 (或商与1的关系) 的符号。
  4. 根据定义得出结论。
     • 图象法: 观察函数图象，从左到右，图象上升则为增函数，图象下降则为减函数。
     • 导数法 (后续学习): 在区间 D 内，若 f'(x) > 0，则 f(x) 在 D 上为增函数；若 f'(x) < 0，则 f(x) 在 D 上为减函数。

1.3 注意事项

• 单调性是针对 区间 而言的。
  • 单调区间 不能用并集符号 ∪ 连接，应分开写或用“和”字连接。例如，函数 y = 1/x 在 (-∞, 0) 和 (0, +∞) 上都是减函数，但不能说在 (-∞, 0) ∪ (0, +∞) 上是减函数。

2. 奇偶性 (Parity)

2.1 定义

• 前提: 函数 y = f(x) 的 定义域关于原点对称。即若 x ∈ Domain, 则 -x ∈ Domain。
  • 偶函数 (Even Function): 如果对于定义域内的任意 x，都有 f(-x) = f(x)，那么称函数 y = f(x) 为偶函数。
  • 奇函数 (Odd Function): 如果对于定义域内的任意 x，都有 f(-x) = -f(x)，那么称函数 y = f(x) 为奇函数。
  • 非奇非偶函数: 不满足以上两种情况的函数（或定义域不关于原点对称）。

2.2 判定方法

1. 检验定义域对称性: 首先判断函数的定义域是否关于原点对称。如果不对称，则函数非奇非偶。
   2. 验证关系式:
      • 计算 f(-x)。
      • 比较 f(-x) 与 f(x) 的关系：
        • 若 f(-x) = f(x) 恒成立，则为偶函数。
        • 若 f(-x) = -f(x) 恒成立，则为奇函数。
        • 若两者都不成立，则为非奇非偶函数。
   3. 特殊值: 若 0 在定义域内，对于奇函数，必有 f(0) = 0 (可作为必要条件辅助判断，但 f(0)=0 不是奇函数的充分条件)。

2.3 图象特征

• 偶函数: 图象关于 y 轴对称。
  • 奇函数: 图象关于 原点对称。

2.4 奇偶性的性质

• 定义域关于原点对称的两个奇(偶)函数之和(差)仍为奇(偶)函数。
  • 一个奇函数与一个偶函数之和(差)为非奇非偶函数 (除非其中一个为零函数)。
  • 两个奇函数之积(商)为偶函数。
  • 两个偶函数之积(商)为偶函数。
  • 一个奇函数与一个偶函数之积(商)为奇函数。
  • 若 f(x) 是奇函数且在 x > 0 上单调递增(减)，则在 x < 0 上也单调递增(减)。
  • 若 f(x) 是偶函数且在 x > 0 上单调递增(减)，则在 x < 0 上单调递减(增)。

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(注: 根据不同教材版本，第一章可能还包含映射的概念，或者函数的其他性质如周期性、最值等可能放在后续章节。)

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