《八上数学思维导图》

一、实数

• 1.1 平方根
  • 定义：如果一个数 x 的平方等于 a，那么 x 叫做 a 的平方根。
  • 表示方法：√a (正的平方根,也叫算术平方根), -√a (负的平方根), ±√a (平方根)。
  • 性质：
    • 正数有两个平方根，互为相反数。
    • 0 的平方根是 0。
    • 负数没有平方根。
  • 算术平方根：
    • 定义：正数 a 的正的平方根，记作√a。
    • 性质：√a ≥ 0
• 1.2 立方根
  • 定义：如果一个数 x 的立方等于 a，那么 x 叫做 a 的立方根。
  • 表示方法：∛a
  • 性质：
    • 正数有一个正的立方根。
    • 0 的立方根是 0。
    • 负数有一个负的立方根。
• 1.3 实数
  • 定义：有理数和无理数统称为实数。
  • 分类：
    • 按定义分类：
      • 实数 { 有理数 { 正有理数, 0, 负有理数 }, 无理数 { 正无理数, 负无理数 } }
    • 按性质分类：
      • 实数 { 正实数 { 正有理数, 正无理数 }, 0, 负实数 { 负有理数, 负无理数 } }
  • 数轴：实数与数轴上的点一一对应。
  • 实数大小比较：数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数。
  • 运算：实数可以进行加、减、乘、除、乘方、开方等运算，运算规律与有理数相同。
  • 无理数：无限不循环小数。常见的无理数有：π，√2，√3，等。

二、整式的乘除与因式分解

• 2.1 幂的运算
  • 同底数幂的乘法：a^m * aⁿ = a^m+n (m, n 为正整数)
  • 幂的乘方：(a^m)ⁿ = a^mn (m, n 为正整数)
  • 积的乘方：(ab)ⁿ = aⁿbⁿ (n 为正整数)
  • 同底数幂的除法：a^m ÷ aⁿ = a^m-n (a ≠ 0, m, n 为正整数, 且 m > n)
  • 零指数幂：a⁰ = 1 (a ≠ 0)
  • 负整数指数幂：a^-p = 1/a^p (a ≠ 0, p 为正整数)
• 2.2 整式的乘法
  • 单项式乘以单项式：系数相乘，相同字母的幂相乘，其余字母连同其指数不变。
  • 单项式乘以多项式：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。m(a+b+c) = ma + mb + mc
  • 多项式乘以多项式：先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。(a+b)(m+n) = am + an + bm + bn
• 2.3 乘法公式
  • 平方差公式：(a+b)(a-b) = a² - b²
  • 完全平方公式：(a+b)² = a² + 2ab + b², (a-b)² = a² - 2ab + b²
• 2.4 整式的除法
  • 单项式除以单项式：系数相除，相同字母的幂相除，其余字母连同其指数不变。
  • 多项式除以单项式：用多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加。
• 2.5 因式分解
  • 定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解。
  • 方法：
    • 提取公因式：ma + mb + mc = m(a+b+c)
    • 运用公式：
      • 平方差公式：a² - b² = (a+b)(a-b)
      • 完全平方公式：a² + 2ab + b² = (a+b)², a² - 2ab + b² = (a-b)²
  • 步骤：先提取公因式，再看是否能用公式法。

三、分式

• 3.1 分式的概念
  • 定义：形如 A/B 的式子，其中 A, B 是整式，且 B 中含有字母，B≠0，叫做分式。
  • 分式有意义的条件：分母不等于零。
  • 分式的值为零的条件：分子等于零，且分母不等于零。
• 3.2 分式的基本性质
  • 性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。A/B = (AM)/(BM) = (A/M)/(B/M) (M≠0)
  • 约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫做约分。
  • 通分：把几个异分母的分式化成同分母的分式，叫做通分。
• 3.3 分式的运算
  • 分式的乘法：A/B C/D = (AC)/(B*D)
  • 分式的除法：A/B ÷ C/D = A/B D/C = (AD)/(B*C)
  • 分式的加减法：
    • 同分母分式加减：A/C ± B/C = (A±B)/C
    • 异分母分式加减：先通分，再加减。
  • 分式的乘方：(A/B)ⁿ = Aⁿ/Bⁿ
• 3.4 分式方程
  • 定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
  • 解分式方程的步骤：
    • 去分母：方程两边都乘以最简公分母，化为整式方程。
    • 解整式方程。
    • 验根：把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母的值不为零，整式方程的根是原方程的根；否则，这个根是原方程的增根。
  • 应用：解决实际问题，注意验根。

四、三角形

• 4.1 与三角形有关的线段
  • 三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
  • 三角形的分类：
    • 按角分：锐角三角形，直角三角形，钝角三角形。
    • 按边分：不等边三角形，等腰三角形（等边三角形）。
  • 三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
  • 三角形的重要线段：
    • 中线：连接顶点和对边中点的线段。
    • 高线：从顶点到对边的垂线段。
    • 角平分线：三角形内角的平分线与对边相交的线段。
• 4.2 与三角形有关的角
  • 三角形的内角和定理：三角形的三个内角的和等于 180°。
  • 三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角。
  • 三角形的外角的性质：
    • 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
    • 三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角。
• 4.3 多边形及其内角和
  • 多边形的定义：由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形。
  • 正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形。
  • 多边形的内角和：(n-2) * 180° (n 为边数)
  • 多边形的外角和：360°

五、全等三角形

• 5.1 全等三角形
  • 定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
  • 性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。
  • 表示：△ABC ≌ △DEF
• 5.2 三角形全等的判定
  • SSS (边边边)：三边对应相等的两个三角形全等。
  • SAS (边角边)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
  • ASA (角边角)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
  • AAS (角角边)：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
  • HL (斜边、直角边)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
• 5.3 角平分线的性质
  • 性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等。
  • 判定：到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。

六、轴对称

• 6.1 轴对称图形
  • 定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
  • 性质：对应点到对称轴的距离相等，对应点的连线垂直于对称轴。
• 6.2 线段的垂直平分线的性质
  • 性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。
  • 判定：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。
• 6.3 等腰三角形
  • 性质：
    • 等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）。
    • 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）。
  • 判定：
    • 有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）。
• 6.4 等边三角形
  • 性质：
    • 等边三角形的三个内角都相等，都等于 60°。
    • 等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴。
  • 判定：
    • 三个角都相等的三角形是等边三角形。
    • 有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形。

七、数据的分析

• 7.1 平均数
  • 算术平均数：x̄ = (x₁ + x₂ + ... + x_n) / n
  • 加权平均数：x̄ = (w₁x₁ + w₂x₂ + ... + w_nx_n) / (w₁ + w₂ + ... + w_n) , w_i 为权重。
• 7.2 中位数与众数
  • 中位数：将一组数据按大小顺序排列，位于中间位置的数（或中间两个数的平均数）。
  • 众数：一组数据中出现次数最多的数据。
• 7.3 方差
  • 定义：反映一组数据的波动大小的量。
  • 公式：s² = [(x₁ - x̄)² + (x₂ - x̄)² + ... + (x_n - x̄)²] / n
• 7.4 用计算器计算平均数与方差
  • 掌握计算器的基本使用方法。

这个思维导图涵盖了八年级上册数学的主要内容，希望对你有帮助！