《八上思维导图》

一、代数学

1. 整式的乘除与因式分解

1.1 幂的运算性质

1.1.1 同底数幂的乘法

• am * an = am+n (m, n 是正整数)
  • 指数相加，底数不变
  • 强调底数相同

1.1.2 幂的乘方

• (am)n = amn (m, n 是正整数)
  • 指数相乘，底数不变
  • 区分与同底数幂的乘法

1.1.3 积的乘方

• (ab)n = anbn (n 是正整数)
  • 每个因数都乘方
  • 逆用：anbn = (ab)n

1.1.4 同底数幂的除法

• am ÷ an = am-n (a ≠ 0, m, n 是正整数，且 m > n)
  • 指数相减，底数不变
  • a0 = 1 (a ≠ 0)
  • a-p = 1/ap (a ≠ 0, p 是正整数)

1.2 整式的乘法

1.2.1 单项式乘以单项式

• 系数相乘，相同字母的幂相乘，其余字母照抄

1.2.2 单项式乘以多项式

• m(a + b + c) = ma + mb + mc
  • 利用乘法分配律
  • 注意符号

1.2.3 多项式乘以多项式

• (a + b)(m + n) = am + an + bm + bn
  • 展开时注意每一项都要乘到
  • 注意符号

1.3 乘法公式

1.3.1 平方差公式

• (a + b)(a - b) = a2 - b2
  • 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差
  • 注意公式的结构特点

1.3.2 完全平方公式

• (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
  • (a - b)2 = a2 - 2ab + b2
  • 两个数的和（或差）的平方，等于这两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍
  • 注意公式的结构特点
  • 注意配方法的应用

1.4 因式分解

1.4.1 提公因式法

• ma + mb + mc = m(a + b + c)
  • 确定公因式
  • 提取公因式

1.4.2 公式法

• a2 - b2 = (a + b)(a - b)
  • a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
  • a2 - 2ab + b2 = (a - b)2

1.4.3 十字相乘法（部分地区会涉及）

• x2 + (p+q)x + pq = (x+p)(x+q)

1.4.4 分组分解法（较复杂，部分地区会涉及）

• 灵活分组
  • 分组后能提取公因式或使用公式

2. 分式

2.1 分式的概念

2.1.1 定义

• A/B，其中A、B是整式，且B中含有字母
  • B ≠ 0，分式才有意义

2.1.2 分式的值为零的条件

• A = 0 且 B ≠ 0

2.2 分式的基本性质

2.2.1 性质

• A/B = (A M)/(B M)
  • A/B = (A ÷ M)/(B ÷ M) (M ≠ 0)

2.2.2 用途

• 分式的约分
  • 分式的通分

2.3 分式的运算

2.3.1 分式的乘除

• (A/B) (C/D) = (A C)/(B * D)
  • (A/B) ÷ (C/D) = (A/B) * (D/C)

2.3.2 分式的加减

• 同分母分式：A/C ± B/C = (A ± B)/C
  • 异分母分式：先通分，再加减

2.4 分式方程

2.4.1 定义

• 分母中含有未知数的方程

2.4.2 解法

• 去分母，化为整式方程
  • 解整式方程
  • 验根（重要！检验根是否使原方程分母为零）

2.4.3 应用

• 解决实际问题

二、几何学

3. 三角形

3.1 三角形的边

3.1.1 定义

• 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形

3.1.2 三边关系

• 两边之和大于第三边
  • 两边之差小于第三边

3.2 三角形的角

3.2.1 内角和

• 三角形的内角和为180°

3.2.2 外角

• 外角等于不相邻两个内角之和
  • 外角大于任何一个不相邻的内角

3.3 三角形的重要线段

3.3.1 中线

• 三角形一个顶点到对边中点的连线

3.3.2 角平分线

• 三角形一个内角的平分线与对边相交，顶点和交点之间的线段

3.3.3 高线

• 从三角形一个顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段

3.4 特殊三角形

3.4.1 等腰三角形

• 定义：两边相等的三角形
  • 性质：两底角相等，顶角平分线、底边中线、底边高线重合 (三线合一)
  • 判定：两角相等则两边相等

3.4.2 等边三角形

• 定义：三边相等的三角形
  • 性质：三个内角都等于60°
  • 判定：三个角都相等，或一个角是60°的等腰三角形

3.5 全等三角形

3.5.1 定义

• 能够完全重合的两个三角形

3.5.2 性质

• 对应边相等，对应角相等

3.5.3 判定

3.5.3.1 SSS

• 三边对应相等

3.5.3.2 SAS

• 两边及其夹角对应相等

3.5.3.3 ASA

• 两角及其夹边对应相等

3.5.3.4 AAS

• 两角及其一角的对边对应相等

3.5.3.5 HL （直角三角形）

• 斜边和一条直角边对应相等

4. 轴对称

4.1 轴对称图形

4.1.1 定义

• 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴

4.1.2 常见轴对称图形

• 线段、角、等腰三角形、等边三角形、矩形、正方形、圆等

4.2 轴对称的性质

4.2.1 对称点的连线被对称轴垂直平分

4.2.2 对称轴是对应点连线的中垂线

4.3 线段的垂直平分线

4.3.1 定义

• 垂直于这条线段并且平分这条线段的直线

4.3.2 性质

• 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等

4.3.3 判定

• 到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上

4.4 角的平分线

4.4.1 定义

• 把一个角分成两个相等的角的射线

4.4.2 性质

• 角平分线上的点到角的两边距离相等

4.4.3 判定

• 到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上

三、数据分析

5. 数据的分析

5.1 平均数

5.1.1 算术平均数

• (x1 + x2 + ... + xn) / n

5.1.2 加权平均数

• (x1f1 + x2f2 + ... + xnfn) / (f1 + f2 + ... + fn)

5.2 中位数

5.2.1 定义

• 将数据按照大小顺序排列，位于中间位置的数（或中间两个数的平均数）

5.3 众数

5.3.1 定义

• 出现次数最多的数据

5.4 方差

5.4.1 定义

• 各数据与其平均数差的平方的平均数

5.4.2 公式

• s2 = [(x1 - x̄)2 + (x2 - x̄)2 + ... + (xn - x̄)2] / n

5.5 标准差

5.5.1 定义

• 方差的算术平方根

5.5.2 公式

• s = √s2

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