数学五年级上册第三单元长方体和正方体思维导图

# 《数学五年级上册第三单元长方体和正方体思维导图》

## 一、基本概念

### 1. 长方体
*   定义：六个面都是长方形（特殊情况下有两个相对的面是正方形）的立体图形。
*   特征：
    *   6个面：一般都是长方形，也可能有两个相对的面是正方形。
    *   12条棱：相对的棱长度相等。
    *   8个顶点。
    *   相对的面完全相同。
    *   长、宽、高：相交于一个顶点的三条棱的长度，通常分别用a、b、h表示。
*   特殊长方体：有两个相对的面是正方形的长方体。

### 2. 正方体
*   定义：六个面都是正方形的立体图形。
*   特征：
    *   6个面：都是完全相同的正方形。
    *   12条棱：长度都相等。
    *   8个顶点。
    *   是特殊的长方体：长、宽、高都相等。
*   棱长：正方体的棱的长度，通常用a表示。

### 3. 面、棱、顶点
*   面：构成长方体或正方体的平面部分。
*   棱：两个面相交的线段。
*   顶点：三条棱相交的点。

### 4. 长方体和正方体的关系
*   正方体是特殊的长方体。
*   可以从面的形状、棱的长度等方面进行区分和联系。

## 二、表面积

### 1. 长方体的表面积
*   定义：长方体六个面的面积总和。
*   计算公式：
    *   S = 2(ab + ah + bh)  （常用公式）
    *   S = 2ab + 2ah + 2bh  （展开公式）
*   单位：平方米 (m²)、平方分米 (dm²)、平方厘米 (cm²)

### 2. 正方体的表面积
*   定义：正方体六个面的面积总和。
*   计算公式：
    *   S = 6a²
*   单位：平方米 (m²)、平方分米 (dm²)、平方厘米 (cm²)

### 3. 表面积的应用
*   计算制作包装盒、水池、房间墙壁等所需的材料面积。
*   注意：根据实际情况，有时只需要计算部分面的面积。例如，无盖水箱、房间地面等。
*   审题关键：确定需要计算哪些面的面积。

## 三、体积

### 1. 体积的概念
*   定义：物体所占空间的大小。
*   单位：立方米 (m³)、立方分米 (dm³)、立方厘米 (cm³)

### 2. 体积单位的换算
*   1 m³ = 1000 dm³
*   1 dm³ = 1000 cm³
*   1 dm³ = 1 升 (L)
*   1 cm³ = 1 毫升 (mL)

### 3. 长方体的体积
*   计算公式：
    *   V = abh （常用公式）
    *   V = Sh （底面积 × 高）
*   理解：长方体的体积等于长、宽、高的乘积。

### 4. 正方体的体积
*   计算公式：
    *   V = a³
*   理解：正方体的体积等于棱长的立方。

### 5. 体积的应用
*   计算容器的容积。
*   计算土石方工程的体积。
*   计算游泳池、水箱等容纳水的体积。

## 四、容积

### 1. 容积的概念
*   定义：容器所能容纳物体的体积。
*   容积单位：升 (L)、毫升 (mL)
*   固体不能计算容积。

### 2. 容积的计算
*   计算方法：与体积的计算方法相同，只是测量的是容器内部的长、宽、高。
*   注意：容器的壁厚，需要从外部尺寸减去壁厚才能得到内部尺寸。

### 3. 容积与体积的区别与联系
*   区别：
    *   体积是指物体所占空间的大小。
    *   容积是指容器所能容纳物体的体积。
    *   固体有体积，但没有容积。
*   联系：
    *   容积的计算方法与体积相同。
    *   容积是物体占据空间的一种特殊情况。

## 五、综合应用

### 1. 切割与拼接
*   将长方体切割成正方体或长方体，体积不变，表面积可能增加。
*   将正方体或长方体拼接成更大的长方体，体积不变，表面积可能减少。
*   注意：要分析切割或拼接的方式，确定增加或减少的面积。

### 2. 浸没法
*   不规则物体的体积：将物体浸没在水中，通过测量水面上升的高度来计算物体的体积。
*   计算公式：V = 底面积 × 水面上升的高度

### 3. 综合计算
*   结合表面积、体积、容积等知识，解决实际问题。
*   需要认真审题，分析问题，确定解题思路。

### 4. 解决策略
*   画图：帮助理解题意，理清数量关系。
*   转化：将复杂问题转化为简单问题。
*   方程：利用方程解决未知数问题。
*   估算：对计算结果进行初步判断。

## 六、易错点

### 1. 单位混淆
*   体积单位与面积单位、长度单位容易混淆。
*   注意单位的换算，保持单位一致。

### 2. 表面积计算错误
*   忘记乘2。
*   忽略部分面的面积。
*   计算组合图形的表面积时，忘记减去重叠部分。

### 3. 体积计算错误
*   公式记错。
*   忽略单位的换算。
*   将长、宽、高弄混淆。

### 4. 容积与体积概念不清
*   将容积与体积混为一谈。
*   忘记计算容器内部的尺寸。

### 5. 审题不清
*   没有认真阅读题目，理解题意。
*   没有分析问题的数量关系。
*   导致解题思路错误。

# 《数学五年级上册第三单元长方体和正方体思维导图》 ## 一、基本概念 ### 1. 长方体 * 定义：六个面都是长方形（特殊情况下有两个相对的面是正方形）的立体图形。 * 特征： * 6个面：一般都是长方形，也可能有两个相对的面是正方形。 * 12条棱：相对的棱长度相等。 * 8个顶点。 * 相对的面完全相同。 * 长、宽、高：相交于一个顶点的三条棱的长度，通常分别用a、b、h表示。 * 特殊长方体：有两个相对的面是正方形的长方体。 ### 2. 正方体 * 定义：六个面都是正方形的立体图形。 * 特征： * 6个面：都是完全相同的正方形。 * 12条棱：长度都相等。 * 8个顶点。 * 是特殊的长方体：长、宽、高都相等。 * 棱长：正方体的棱的长度，通常用a表示。 ### 3. 面、棱、顶点 * 面：构成长方体或正方体的平面部分。 * 棱：两个面相交的线段。 * 顶点：三条棱相交的点。 ### 4. 长方体和正方体的关系 * 正方体是特殊的长方体。 * 可以从面的形状、棱的长度等方面进行区分和联系。 ## 二、表面积 ### 1. 长方体的表面积 * 定义：长方体六个面的面积总和。 * 计算公式： * S = 2(ab + ah + bh) （常用公式） * S = 2ab + 2ah + 2bh （展开公式） * 单位：平方米 (m²)、平方分米 (dm²)、平方厘米 (cm²) ### 2. 正方体的表面积 * 定义：正方体六个面的面积总和。 * 计算公式： * S = 6a² * 单位：平方米 (m²)、平方分米 (dm²)、平方厘米 (cm²) ### 3. 表面积的应用 * 计算制作包装盒、水池、房间墙壁等所需的材料面积。 * 注意：根据实际情况，有时只需要计算部分面的面积。例如，无盖水箱、房间地面等。 * 审题关键：确定需要计算哪些面的面积。 ## 三、体积 ### 1. 体积的概念 * 定义：物体所占空间的大小。 * 单位：立方米 (m³)、立方分米 (dm³)、立方厘米 (cm³) ### 2. 体积单位的换算 * 1 m³ = 1000 dm³ * 1 dm³ = 1000 cm³ * 1 dm³ = 1 升 (L) * 1 cm³ = 1 毫升 (mL) ### 3. 长方体的体积 * 计算公式： * V = abh （常用公式） * V = Sh （底面积 × 高） * 理解：长方体的体积等于长、宽、高的乘积。 ### 4. 正方体的体积 * 计算公式： * V = a³ * 理解：正方体的体积等于棱长的立方。 ### 5. 体积的应用 * 计算容器的容积。 * 计算土石方工程的体积。 * 计算游泳池、水箱等容纳水的体积。 ## 四、容积 ### 1. 容积的概念 * 定义：容器所能容纳物体的体积。 * 容积单位：升 (L)、毫升 (mL) * 固体不能计算容积。 ### 2. 容积的计算 * 计算方法：与体积的计算方法相同，只是测量的是容器内部的长、宽、高。 * 注意：容器的壁厚，需要从外部尺寸减去壁厚才能得到内部尺寸。 ### 3. 容积与体积的区别与联系 * 区别： * 体积是指物体所占空间的大小。 * 容积是指容器所能容纳物体的体积。 * 固体有体积，但没有容积。 * 联系： * 容积的计算方法与体积相同。 * 容积是物体占据空间的一种特殊情况。 ## 五、综合应用 ### 1. 切割与拼接 * 将长方体切割成正方体或长方体，体积不变，表面积可能增加。 * 将正方体或长方体拼接成更大的长方体，体积不变，表面积可能减少。 * 注意：要分析切割或拼接的方式，确定增加或减少的面积。 ### 2. 浸没法 * 不规则物体的体积：将物体浸没在水中，通过测量水面上升的高度来计算物体的体积。 * 计算公式：V = 底面积 × 水面上升的高度 ### 3. 综合计算 * 结合表面积、体积、容积等知识，解决实际问题。 * 需要认真审题，分析问题，确定解题思路。 ### 4. 解决策略 * 画图：帮助理解题意，理清数量关系。 * 转化：将复杂问题转化为简单问题。 * 方程：利用方程解决未知数问题。 * 估算：对计算结果进行初步判断。 ## 六、易错点 ### 1. 单位混淆 * 体积单位与面积单位、长度单位容易混淆。 * 注意单位的换算，保持单位一致。 ### 2. 表面积计算错误 * 忘记乘2。 * 忽略部分面的面积。 * 计算组合图形的表面积时，忘记减去重叠部分。 ### 3. 体积计算错误 * 公式记错。 * 忽略单位的换算。 * 将长、宽、高弄混淆。 ### 4. 容积与体积概念不清 * 将容积与体积混为一谈。 * 忘记计算容器内部的尺寸。 ### 5. 审题不清 * 没有认真阅读题目，理解题意。 * 没有分析问题的数量关系。 * 导致解题思路错误。

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