数的认识思维导图
《数的认识思维导图》
一、整数
1.1 自然数
- 概念： 表示物体个数的数，从0开始，递增1。
- 特征： 非负性、有序性、无限性。
- 计数单位： 一（个）、十、百、千、万、亿…
- 进制： 十进制（逢十进一）。
- 应用： 计数、测量、标号、排序。
1.2 整数
- 概念： 包括正整数、0和负整数。
- 数轴表示： 可以在数轴上找到对应位置，0是正负整数的分界点。
- 比较大小： 正整数>0>负整数；正整数之间，绝对值大的数大；负整数之间，绝对值大的数小。
- 绝对值： 数轴上表示某数的点与原点的距离，总为非负数。
- 相反数： 只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0。
- 应用： 表示温度、海拔、收支情况等具有相反意义的量。
1.3 整数的运算
- 加法： 同号相加，取相同符号，绝对值相加；异号相加，绝对值大的减绝对值小的，取绝对值大的符号；互为相反数相加得0。
- 减法： 减去一个数等于加上这个数的相反数。
- 乘法： 同号得正，异号得负，绝对值相乘；任何数与0相乘得0。
- 除法： 除以一个数等于乘以这个数的倒数；0不能作除数。
- 运算定律： 加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律。
- 运算顺序： 先乘除，后加减，有括号先算括号里面的。
1.4 数的整除
- 整除： 整数a除以整数b（b≠0），商是整数且没有余数，就说a能被b整除，或b能整除a。
- 约数（因数）： 若a能被b整除，则b是a的约数。
- 倍数： 若a能被b整除，则a是b的倍数。
- 2的倍数特征： 个位是0、2、4、6、8。
- 5的倍数特征： 个位是0、5。
- 3的倍数特征： 各个数位上的数字之和是3的倍数。
- 公约数： 几个数共有的约数。
- 最大公约数： 几个数共有的约数中最大的一个。
- 互质数： 公约数只有1的两个数。
- 公倍数： 几个数共有的倍数。
- 最小公倍数： 几个数共有的倍数中最小的一个。
- 质数： 只有1和它本身两个约数的数。
- 合数： 除了1和它本身，还有其他约数的数。
- 分解质因数： 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来。
二、分数
2.1 分数的意义
- 概念： 把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数。
- 分数单位： 把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数。
- 真分数： 分子小于分母的分数，小于1。
- 假分数： 分子大于或等于分母的分数，大于或等于1。
- 带分数： 假分数可以写成整数和真分数的形式，叫做带分数。
- 分数的基本性质： 分数的分子和分母同时乘或除以同一个不为0的数，分数的大小不变。
2.2 分数的分类
- 按分子分母关系分： 真分数、假分数、带分数。
- 按能否化简分： 最简分数、可约分数。
- 按分子个数分： 单分数、复分数。
2.3 分数的运算
- 加减法： 同分母分数相加减，分母不变，分子相加减；异分母分数相加减，先通分，再按照同分母分数加减法计算。
- 乘法： 分数乘以整数，分子与整数相乘，分母不变；分数乘以分数，分子乘以分子，分母乘以分母。
- 除法： 除以一个数等于乘以这个数的倒数。
- 简便运算： 运用乘法交换律、结合律、分配律进行简便计算。
2.4 分数、小数的互化
- 分数化小数： 用分子除以分母，除不尽时按要求保留小数位数。
- 小数化分数： 看是几位小数，就在1后面添几个0做分母，原来的小数去掉小数点作分子，能约分的要约分。
2.5 百分数
- 概念： 表示一个数是另一个数的百分之几的数，也叫百分率或百分比。
- 与分数的区别： 百分数只表示两个数的倍数关系，不表示具体的数量。
- 百分数与小数的互化： 百分数化小数，去掉百分号，小数点向左移动两位；小数化百分数，小数点向右移动两位，添上百分号。
- 百分数与分数的互化： 百分数化分数，先把百分数写成分母是100的分数，再约分成最简分数；分数化百分数，先把分数化成小数（除不尽时通常保留三位小数），再把小数化成百分数。
- 应用： 求百分率、折扣、成数、利息等。
三、小数
3.1 小数的意义
- 概念： 是十进制分数的另一种表现形式。
- 计数单位： 十分位、百分位、千分位…
- 分类： 有限小数、无限小数。
- 无限小数： 无限循环小数、无限不循环小数（无理数）。
- 循环小数： 一个小数，从小数部分的某一位起，一个或几个数字依次重复出现的小数。
- 循环节： 循环小数重复出现的数字。
3.2 小数的读写
- 读法： 整数部分按照整数的读法来读，小数点读作“点”，小数部分依次读出每个数字。
- 写法： 先写整数部分，按照整数的写法来写，再在个位的右下角点上小数点，最后依次写出小数部分的数字。
3.3 小数的性质
- 性质： 小数的末尾添上或者去掉0，小数的大小不变。
- 应用： 化简小数、改写小数。
3.4 小数的大小比较
- 方法： 先比较整数部分，整数部分大的数就大；整数部分相同，就比较十分位，十分位大的数就大；十分位相同，就比较百分位，以此类推。
3.5 小数的运算
- 加减法： 小数点对齐，按照整数加减法的计算方法进行计算，得数的小数点要和横线上的小数点对齐。
- 乘法： 按照整数乘法的计算方法进行计算，看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。
- 除法： 除数是整数的除法，按照整数除法的计算方法进行计算，商的小数点要和被除数的小数点对齐；除数是小数的除法，先移动除数的小数点，使它变成整数，除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的，在被除数的末尾用0补足），然后按照除数是整数的除法进行计算。
- 简便运算： 运用运算定律进行简便计算。
四、负数
4.1 负数的意义
- 概念： 小于0的数。
- 表示方法： 在正数前面加上“-”号。
- 应用： 表示温度、海拔、收支情况等具有相反意义的量。
4.2 负数的比较大小
- 规则： 负数小于0，负数小于正数，两个负数，绝对值大的反而小。
五、数的拓展
5.1 无理数
5.2 实数
六、数系结构
- 复数： 实数 + 虚数
- 实数： 有理数 + 无理数
- 有理数： 整数 + 分数
- 整数： 正整数 + 0 + 负整数
- 自然数： 正整数 + 0
