《七年级上册数学45单元思维导图》

一、第四单元：几何图形初步

1.1 立体图形与平面图形

• 1.1.1 立体图形：

  • 定义： 各部分不都在同一平面内的图形。
  • 常见立体图形：
    • 棱柱：三棱柱、四棱柱（长方体、正方体）、五棱柱...
    • 圆柱
    • 圆锥
    • 球
    • 棱锥
  • 展开图： 能展开成平面图形的立体图形的展开图。 (重点掌握棱柱的展开图，注意侧面展开是矩形)

• 1.1.2 平面图形：

  • 定义： 各部分都在同一平面内的图形。
  • 常见平面图形：
    • 三角形
    • 四边形
    • 圆
    • 扇形
    • 平行四边形
    • 正方形
    • 梯形

• 1.1.3 从不同方向看立体图形：

  • 主视图： 从正面看到的图形。
  • 左视图： 从左面看到的图形。
  • 俯视图： 从上面看到的图形。
  • 注意： 简单立体图形的三视图容易画出，复杂立体图形需要仔细观察。
  • 规律： 主视图和俯视图长相等，主视图和左视图高相等，左视图和俯视图宽相等。

1.2 直线、射线、线段

• 1.2.1 直线：

  • 定义： 向两方无限延伸的线。
  • 表示方法： 用一个小写字母表示 (如直线 l)，或用直线上的两个大写字母表示 (如直线 AB)。
  • 性质：
    • 两点确定一条直线。
    • 两点之间，直线最短。（距离的定义基础）

• 1.2.2 射线：

  • 定义： 将直线上的任一点无限延伸的一段线。
  • 表示方法： 用端点和射线上的另一点表示 (如射线 OA，注意端点字母必须写在前面)。

• 1.2.3 线段：

  • 定义： 直线上两点之间的部分。
  • 表示方法： 用两个端点表示 (如线段 AB 或线段 BA)。
  • 线段的比较与测量：
    • 方法：叠合法，刻度尺测量法。
    • 线段的和、差、倍、分。
  • 线段的中点：
    • 定义：把一条线段分成两条相等的线段的点。
    • 几何语言：若点 M 是线段 AB 的中点，则 AM = BM = 1/2 AB，或 AB = 2AM = 2BM。

• 1.2.4 两点间的距离：

  • 定义： 连接两点间的线段的长度。
  • 性质： 两点之间，线段最短。

1.3 角的度量

• 1.3.1 角的定义：

  • 静态定义： 从一个点出发的两条射线组成的图形。
  • 动态定义： 一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形。

• 1.3.2 角的表示方法：

  • 用三个大写字母表示 (如∠AOB，顶点字母必须写在中间)。
  • 用一个大写字母表示 (如∠O，当顶点只有一个角时才可以用此方法)。
  • 用一个希腊字母或数字表示 (如∠α，∠1)。

• 1.3.3 角的单位： 度、分、秒 (1° = 60'，1' = 60")。

  • 角的度、分、秒的换算。

• 1.3.4 角的分类：

  • 锐角：小于 90° 的角。
  • 直角：等于 90° 的角。
  • 钝角：大于 90° 小于 180° 的角。
  • 平角：等于 180° 的角。
  • 周角：等于 360° 的角。

• 1.3.5 角的比较与运算：

  • 角的比较：叠合法，度量法。
  • 角的和、差、倍、分。

• 1.3.6 角的平分线：

  • 定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线。
  • 几何语言：若射线 OC 是∠AOB 的平分线，则 ∠AOC = ∠BOC = 1/2 ∠AOB，或 ∠AOB = 2∠AOC = 2∠BOC。

• 1.3.7 余角和补角：

  • 余角：如果两个角的和等于 90°，就说这两个角互为余角。
  • 补角：如果两个角的和等于 180°，就说这两个角互为补角。
  • 性质：同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等。

二、第五单元：相交线与平行线

2.1 相交线

• 2.1.1 对顶角：

  • 定义：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角互为对顶角。
  • 性质：对顶角相等。

• 2.1.2 邻补角：

  • 定义：具有公共顶点和一条公共边，且另一边互为反向延长线的两个角互为邻补角。
  • 性质：邻补角互补（和为 180°）。

• 2.1.3 垂线：

  • 定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，交点叫做垂足。
  • 表示方法：直线 AB 垂直于直线 CD，记作 AB⊥CD。
  • 性质：
    • 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
    • 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。（点到直线的距离的定义基础）

• 2.1.4 点到直线的距离：

  • 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。

2.2 平行线及其判定

• 2.2.1 平行线：

  • 定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
  • 表示方法：直线 AB 平行于直线 CD，记作 AB∥CD。
  • 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

• 2.2.2 平行线的判定：

  • 同位角相等，两直线平行。
  • 内错角相等，两直线平行。
  • 同旁内角互补，两直线平行。

2.3 平行线的性质

• 2.3.1 平行线的性质：
  • 两直线平行，同位角相等。
  • 两直线平行，内错角相等。
  • 两直线平行，同旁内角互补。

2.4 平移

• 2.4.1 平移：
  • 定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。
  • 性质：
    • 平移不改变图形的形状和大小。
    • 经过平移，对应点所连的线段平行 (或在同一条直线上) 且相等；对应线段平行 (或在同一条直线上) 且相等；对应角相等。
• 2.4.2 平移变换的作图： 关键是确定关键点的对应点的位置，然后连接。