《六年级下册数学正负数思维导图》

中心主题：正负数

一、概念与意义

• 定义：

  • 正数：大于0的数，通常在数前加“+”号（可以省略）。表示与基准意义相反的某种量中，具有积极意义的量。例如：零上温度、盈利、收入、海拔高度上升等。
  • 负数：小于0的数，在数前加“—”号。表示与基准意义相反的某种量中，具有消极意义的量。例如：零下温度、亏损、支出、海拔高度下降等。
  • 0：既不是正数，也不是负数。是正数和负数的分界点。是表示没有的特殊数值，也是基准点。

• 表示方法：

  • 使用“+”或“—”号来区分正负数。
  • 例如：+5, -3, +0.8, -1/2。
  • 正数前的“+”号通常省略，但负数前的“—”号必须保留。

• 生活中的应用：

  • 温度：零上和零下温度的表示 (如：+15℃， -5℃)。
  • 海拔：海平面以上和海平面以下的高度 (如：+8848米，-155米)。
  • 收支：收入和支出 (如：+500元， -200元)。
  • 盈亏：盈利和亏损 (如：+1000元， -300元)。
  • 方向：东西方向的表示 (如：向东走5米记作+5米，则向西走3米记作-3米)。
  • 比赛：进球和失球 (如：进3球记作+3，失2球记作-2)。
  • 股票：股票的涨跌 (如：上涨2元记作+2元，下跌1元记作-1元)。

二、数轴

• 定义：

  • 规定了原点、正方向和单位长度的直线。

• 要素：

  • 原点：数轴上表示0的点，是正负数的分界点。
  • 正方向：数轴上向右的方向，通常用箭头表示。
  • 单位长度：数轴上相邻两点之间的距离，选取合适的长度作为单位。

• 画法：

  • 先画一条直线。
  • 在直线上选取一点作为原点，用0表示。
  • 确定正方向，通常规定向右为正方向。
  • 选取合适的单位长度，并在直线上依次表示出正数和负数。

• 意义：

  • 直观地表示数的大小和正负。
  • 能比较数的大小，数轴上右边的数总比左边的数大。
  • 可以方便地进行数的运算。

• 在数轴上表示数：

  • 正数：在原点的右侧，距离原点相应的单位长度处。
  • 负数：在原点的左侧，距离原点相应的单位长度处。
  • 0：在原点处。

• 数的大小比较：

  • 正数 > 0 > 负数。
  • 两个正数，绝对值大的较大。
  • 两个负数，绝对值大的反而小。
  • 在数轴上，右边的数大于左边的数。

三、绝对值

• 定义：

  • 一个数在数轴上对应的点到原点的距离，叫做这个数的绝对值。

• 表示方法：

  • 用“| |”表示绝对值。例如：|5|，|-3|。

• 性质：

  • 正数的绝对值是它本身，|a| = a (a > 0)。
  • 负数的绝对值是它的相反数，|a| = -a (a < 0)。
  • 0的绝对值是0，|0| = 0。
  • 绝对值具有非负性，即|a| ≥ 0。

• 意义：

  • 绝对值反映了数的大小，与正负无关。
  • 可以用于比较负数的大小。

• 计算：

  • |5| = 5
  • |-3| = 3
  • |0| = 0

四、正负数的运算

• 加法：

  • 同号相加：取相同的符号，并把绝对值相加。
  • 异号相加：绝对值相等时，和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
  • 与0相加：任何数与0相加，都等于这个数本身。
  • 例如：(+3) + (+5) = +8， (-2) + (-4) = -6， (+7) + (-2) = +5， (-5) + (+5) = 0， (+3) + 0 = +3

• 减法：

  • 减去一个数等于加上这个数的相反数。
  • a - b = a + (-b)
  • 例如：(+5) - (+2) = (+5) + (-2) = +3， (-3) - (+1) = (-3) + (-1) = -4， (+2) - (-4) = (+2) + (+4) = +6， (-1) - (-5) = (-1) + (+5) = +4

• 乘法：

  • 同号相乘得正，异号相乘得负，任何数与0相乘都等于0。
  • (+a) × (+b) = + (a × b)
  • (-a) × (-b) = + (a × b)
  • (+a) × (-b) = - (a × b)
  • (-a) × (+b) = - (a × b)
  • 例如：(+2) × (+3) = +6， (-2) × (-3) = +6， (+2) × (-3) = -6， (-2) × (+3) = -6， 5 x 0 = 0

• 除法：

  • 同号相除得正，异号相除得负，0除以任何非0的数都等于0。
  • (+a) ÷ (+b) = + (a ÷ b)
  • (-a) ÷ (-b) = + (a ÷ b)
  • (+a) ÷ (-b) = - (a ÷ b)
  • (-a) ÷ (+b) = - (a ÷ b)
  • 0 ÷ (+a) = 0 (a≠0)
  • 0 ÷ (-a) = 0 (a≠0)
  • 例如：(+6) ÷ (+2) = +3， (-6) ÷ (-2) = +3， (+6) ÷ (-2) = -3， (-6) ÷ (+2) = -3, 0 ÷ 5 = 0

五、易错点与注意事项

• 区分正负数的实际意义，理解基准量的概念。
• 注意数轴上的正方向和单位长度。
• 理解绝对值的几何意义和代数意义。
• 运算时，注意符号的确定。
• 减法运算要转化为加法运算。
• 除法运算要注意除数不能为0。
• 做题时要认真审题，明确题目中的正负数表示的意义。
• 掌握正负数运算的法则，并熟练运用。
• 在解决实际问题时，要注意单位的统一。