五上思维导图数学

# 《五上思维导图数学》

## 一、小数乘法

### 1.1 意义

*   **整数乘法的意义**:求几个相同加数的和的简便运算。
*   **小数乘整数**: 求几个相同小数的和的简便运算。
*   **小数乘小数**: 求一个数的几分之几是多少。

### 1.2 计算法则

*   **步骤**:
    *   ① 按整数乘法算出积；
    *   ② 看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。
*   **注意事项**:
    *   积的小数位数不够时，在前面用0补足。
    *   积的末尾有0时，可以去掉末尾的0。

### 1.3 积与因数的关系

*   一个数(0除外)乘大于1的数，积比原来的数大。
*   一个数(0除外)乘小于1的数，积比原来的数小。
*   一个数(0除外)乘等于1的数，积等于原来的数。

### 1.4 简便计算

*   **乘法交换律**: a×b = b×a
*   **乘法结合律**: (a×b)×c = a×(b×c)
*   **乘法分配律**: (a+b)×c = a×c + b×c 或 a×(b+c) = a×b + a×c 或 a×(b-c) = a×b - a×c
*   **常用凑整**: 0.25×4 = 1; 0.125×8 = 1; 0.5×2 = 1

### 1.5 解决问题

*   **实际应用**: 灵活运用小数乘法解决实际问题，如购物、计算面积等。
*   **估算**: 利用估算解决实际问题，检验计算结果的合理性。

## 二、小数除法

### 2.1 意义

*   **已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。**

### 2.2 计算法则

*   **除数是整数的小数除法**:
    *   按整数除法的方法去除；
    *   商的小数点要和被除数的小数点对齐；
    *   整数部分不够除，商0，点上小数点；
    *   如果有余数，要添0再除。
*   **除数是小数的小数除法**:
    *   先移动除数的小数点，使它变成整数；
    *   除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的，在被除数的末尾用“0”补足）；
    *   然后按照除数是整数的小数除法进行计算。

### 2.3 商的变化规律

*   被除数不变，除数扩大（缩小），商反而缩小（扩大）。
*   除数不变，被除数扩大（缩小），商也扩大（缩小）。
*   被除数和除数同时扩大（缩小）相同的倍数，商不变。

### 2.4 循环小数

*   **定义**: 一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。
*   **循环节**: 一个循环小数的小数部分中，依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节。
*   **简便写法**: 循环小数的简便写法是在第一个循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点。
*   **有限小数**: 小数部分的位数是有限的小数。
*   **无限小数**: 小数部分的位数是无限的小数。
*   **循环小数一定是无限小数，无限小数不一定是循环小数。**

### 2.5 近似数

*   **四舍五入法**: 根据要求，要保留几位小数，就在保留的位数的后一位四舍五入。
*   **进一法**:  舍去尾数，向个位进1。
*   **去尾法**: 直接舍去尾数。
*   **解决问题**: 实际应用中，根据具体情况选择合适的取近似值的方法。

### 2.6 解决问题

*   **单价、数量、总价的关系**: 总价 ÷ 数量 = 单价;  总价 ÷ 单价 = 数量; 单价 × 数量 = 总价
*   **平均数问题**: 总数量 ÷ 总份数 = 平均数

## 三、简易方程

### 3.1 用字母表示数

*   **表示数量**: 用字母表示数量，可以简明地表达数量之间的关系。
*   **表示运算定律**: 用字母表示运算定律，可以概括地表达运算定律。
*   **表示计算公式**: 用字母表示计算公式，可以简洁地表达计算公式。
*   **书写规则**:
    *   字母与数字相乘，省略乘号，数字写在字母前面。
    *   字母与字母相乘，省略乘号。
    *   数字1与字母相乘，省略数字1。
    *   含有字母的式子中，加号、减号、除号不能省略。

### 3.2 等式的性质

*   **等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式。**
*   **等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，所得结果仍然是等式。**

### 3.3 方程的意义

*   **含有未知数的等式，叫做方程。**
*   **方程一定是等式，但等式不一定是方程。**

### 3.4 解方程

*   **方程的解**: 使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。
*   **解方程**: 求方程的解的过程叫做解方程。
*   **解方程的依据**: 等式的性质。
*   **解方程的步骤**:
    *   运用等式的性质，使方程变形。
    *   通过移项等方法，使未知数单独在等式的一边。
    *   求出未知数的值。
*   **检验方法**: 将求出的未知数的值代入原方程，看等式是否成立。

### 3.5 列方程解决问题

*   **步骤**:
    *   ① 弄清题意，找出未知数，用x表示。
    *   ② 分析题中的数量关系，找出等量关系，列方程。
    *   ③ 解方程。
    *   ④ 检验，写出答案。
*   **关键**: 找准等量关系。
*   **常见等量关系**:
    *   和差关系：a+b=c, c-a=b, c-b=a
    *   倍数关系：a×b=c, c÷a=b, c÷b=a
    *   行程问题：路程=速度×时间
    *   工程问题：工作总量=工作效率×工作时间
    *   购物问题：总价=单价×数量
    *   面积问题：长方形面积=长×宽；正方形面积=边长×边长

## 四、多边形的面积

### 4.1 平行四边形的面积

*   **公式**: S = ah (底×高)
*   **推导**: 通过割补法将平行四边形转化成长方形。

### 4.2 三角形的面积

*   **公式**: S = (ah)÷2 (底×高÷2)
*   **推导**: 通过拼摆法将两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形。

### 4.3 梯形的面积

*   **公式**: S = (a+b)h÷2 ( (上底+下底)×高÷2)
*   **推导**: 通过拼摆法将两个完全一样的梯形拼成一个平行四边形。

### 4.4 组合图形的面积

*   **方法**: 分割法，添补法。
*   **策略**: 将组合图形分割或添补成已学过的简单图形，分别计算面积，然后进行加减。

### 4.5 不规则图形的面积

*   **方法**: 数方格法，估算法。
*   **策略**: 将不规则图形近似看作规则图形，估算面积。

## 五、可能性

### 5.1 可能性的大小

*   **可能性**:  指事件发生的概率。
*   **可能性的大小**: 指事件发生的概率大小。
*   **影响因素**:  事件发生的可能性大小取决于事件发生的可能性数量占总数量的比例。
*   **必然事件**: 一定会发生的事件。
*   **不可能事件**: 一定不会发生的事件。
*   **随机事件**: 可能发生也可能不发生的事件。

### 5.2 公平性

*   **游戏规则的公平性**:  游戏中，每个参与者获胜的可能性大小是否相同。
*   **判断标准**:  看每个参与者获胜的可能性是否相等，相等则公平，不相等则不公平。

# 《五上思维导图数学》 ## 一、小数乘法 ### 1.1 意义 * **整数乘法的意义**:求几个相同加数的和的简便运算。 * **小数乘整数**: 求几个相同小数的和的简便运算。 * **小数乘小数**: 求一个数的几分之几是多少。 ### 1.2 计算法则 * **步骤**: * ① 按整数乘法算出积； * ② 看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。 * **注意事项**: * 积的小数位数不够时，在前面用0补足。 * 积的末尾有0时，可以去掉末尾的0。 ### 1.3 积与因数的关系 * 一个数(0除外)乘大于1的数，积比原来的数大。 * 一个数(0除外)乘小于1的数，积比原来的数小。 * 一个数(0除外)乘等于1的数，积等于原来的数。 ### 1.4 简便计算 * **乘法交换律**: a×b = b×a * **乘法结合律**: (a×b)×c = a×(b×c) * **乘法分配律**: (a+b)×c = a×c + b×c 或 a×(b+c) = a×b + a×c 或 a×(b-c) = a×b - a×c * **常用凑整**: 0.25×4 = 1; 0.125×8 = 1; 0.5×2 = 1 ### 1.5 解决问题 * **实际应用**: 灵活运用小数乘法解决实际问题，如购物、计算面积等。 * **估算**: 利用估算解决实际问题，检验计算结果的合理性。 ## 二、小数除法 ### 2.1 意义 * **已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。** ### 2.2 计算法则 * **除数是整数的小数除法**: * 按整数除法的方法去除； * 商的小数点要和被除数的小数点对齐； * 整数部分不够除，商0，点上小数点； * 如果有余数，要添0再除。 * **除数是小数的小数除法**: * 先移动除数的小数点，使它变成整数； * 除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的，在被除数的末尾用“0”补足）； * 然后按照除数是整数的小数除法进行计算。 ### 2.3 商的变化规律 * 被除数不变，除数扩大（缩小），商反而缩小（扩大）。 * 除数不变，被除数扩大（缩小），商也扩大（缩小）。 * 被除数和除数同时扩大（缩小）相同的倍数，商不变。 ### 2.4 循环小数 * **定义**: 一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。 * **循环节**: 一个循环小数的小数部分中，依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节。 * **简便写法**: 循环小数的简便写法是在第一个循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点。 * **有限小数**: 小数部分的位数是有限的小数。 * **无限小数**: 小数部分的位数是无限的小数。 * **循环小数一定是无限小数，无限小数不一定是循环小数。** ### 2.5 近似数 * **四舍五入法**: 根据要求，要保留几位小数，就在保留的位数的后一位四舍五入。 * **进一法**: 舍去尾数，向个位进1。 * **去尾法**: 直接舍去尾数。 * **解决问题**: 实际应用中，根据具体情况选择合适的取近似值的方法。 ### 2.6 解决问题 * **单价、数量、总价的关系**: 总价 ÷ 数量 = 单价; 总价 ÷ 单价 = 数量; 单价 × 数量 = 总价 * **平均数问题**: 总数量 ÷ 总份数 = 平均数 ## 三、简易方程 ### 3.1 用字母表示数 * **表示数量**: 用字母表示数量，可以简明地表达数量之间的关系。 * **表示运算定律**: 用字母表示运算定律，可以概括地表达运算定律。 * **表示计算公式**: 用字母表示计算公式，可以简洁地表达计算公式。 * **书写规则**: * 字母与数字相乘，省略乘号，数字写在字母前面。 * 字母与字母相乘，省略乘号。 * 数字1与字母相乘，省略数字1。 * 含有字母的式子中，加号、减号、除号不能省略。 ### 3.2 等式的性质 * **等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式。** * **等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，所得结果仍然是等式。** ### 3.3 方程的意义 * **含有未知数的等式，叫做方程。** * **方程一定是等式，但等式不一定是方程。** ### 3.4 解方程 * **方程的解**: 使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。 * **解方程**: 求方程的解的过程叫做解方程。 * **解方程的依据**: 等式的性质。 * **解方程的步骤**: * 运用等式的性质，使方程变形。 * 通过移项等方法，使未知数单独在等式的一边。 * 求出未知数的值。 * **检验方法**: 将求出的未知数的值代入原方程，看等式是否成立。 ### 3.5 列方程解决问题 * **步骤**: * ① 弄清题意，找出未知数，用x表示。 * ② 分析题中的数量关系，找出等量关系，列方程。 * ③ 解方程。 * ④ 检验，写出答案。 * **关键**: 找准等量关系。 * **常见等量关系**: * 和差关系：a+b=c, c-a=b, c-b=a * 倍数关系：a×b=c, c÷a=b, c÷b=a * 行程问题：路程=速度×时间 * 工程问题：工作总量=工作效率×工作时间 * 购物问题：总价=单价×数量 * 面积问题：长方形面积=长×宽；正方形面积=边长×边长 ## 四、多边形的面积 ### 4.1 平行四边形的面积 * **公式**: S = ah (底×高) * **推导**: 通过割补法将平行四边形转化成长方形。 ### 4.2 三角形的面积 * **公式**: S = (ah)÷2 (底×高÷2) * **推导**: 通过拼摆法将两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形。 ### 4.3 梯形的面积 * **公式**: S = (a+b)h÷2 ( (上底+下底)×高÷2) * **推导**: 通过拼摆法将两个完全一样的梯形拼成一个平行四边形。 ### 4.4 组合图形的面积 * **方法**: 分割法，添补法。 * **策略**: 将组合图形分割或添补成已学过的简单图形，分别计算面积，然后进行加减。 ### 4.5 不规则图形的面积 * **方法**: 数方格法，估算法。 * **策略**: 将不规则图形近似看作规则图形，估算面积。 ## 五、可能性 ### 5.1 可能性的大小 * **可能性**: 指事件发生的概率。 * **可能性的大小**: 指事件发生的概率大小。 * **影响因素**: 事件发生的可能性大小取决于事件发生的可能性数量占总数量的比例。 * **必然事件**: 一定会发生的事件。 * **不可能事件**: 一定不会发生的事件。 * **随机事件**: 可能发生也可能不发生的事件。 ### 5.2 公平性 * **游戏规则的公平性**: 游戏中，每个参与者获胜的可能性大小是否相同。 * **判断标准**: 看每个参与者获胜的可能性是否相等，相等则公平，不相等则不公平。

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