《考研数学思维导图》
一、高等数学
1. 函数、极限与连续
1.1 函数
1.1.1 函数的定义与性质
- 定义域、值域
- 有界性、单调性、奇偶性、周期性
- 反函数、复合函数
1.1.2 基本初等函数
- 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数
- 函数图像及性质
1.2 极限
1.2.1 数列极限
- 数列极限的定义
- 数列极限的性质：唯一性、有界性、保号性
- 单调有界数列必有极限
- 夹逼准则
- 重要极限：lim (1+1/n)^n = e (n→∞)
1.2.2 函数极限
- 函数极限的定义 (x→x0, x→∞)
- 函数极限的性质：唯一性、局部有界性、局部保号性
- 极限存在的柯西准则
1.2.3 无穷小与无穷大
- 无穷小的定义与性质
- 无穷大的定义与性质
- 无穷小的比较：等价无穷小及其替换
1.2.4 极限的运算法则
- 四则运算
- 复合函数极限
1.3 连续
1.3.1 连续的定义
- 函数在一点连续的定义
- 左连续、右连续
1.3.2 间断点及其分类
- 第一类间断点：可去间断点、跳跃间断点
- 第二类间断点：无穷间断点、振荡间断点
1.3.3 闭区间上连续函数的性质
- 有界性与最大最小值定理
- 介值定理与零点定理
2. 一元函数微分学
2.1 导数与微分
2.1.1 导数的定义
- 导数的定义、几何意义、物理意义
- 单侧导数
2.1.2 求导法则
- 四则运算
- 复合函数求导 (链式法则)
- 反函数求导
- 隐函数求导
- 参数方程求导
2.1.3 基本初等函数求导公式
- 常数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数
2.1.4 微分
- 微分的定义
- 微分的几何意义
- 微分的运算法则
- 一阶微分形式的不变性
2.2 微分中值定理与导数的应用
2.2.1 微分中值定理
- 费马定理
- 罗尔定理
- 拉格朗日中值定理
- 柯西中值定理
2.2.2 洛必达法则
- 0/0 型，∞/∞ 型
2.2.3 函数单调性的判定
- 一阶导数与单调性
2.2.4 函数极值与最值
- 极值点的定义
- 极值的判定 (一阶导数、二阶导数)
- 最值的求法
2.2.5 函数凹凸性与拐点
- 凹凸性的定义
- 凹凸性的判定 (二阶导数)
- 拐点的定义与求法
2.2.6 函数图像的描绘
- 渐近线 (水平、垂直、斜渐近线)
2.3 导数的应用
2.3.1 方程的根
- 证明方程根的存在性
- 根的个数
2.3.2 不等式的证明
- 函数单调性
- 中值定理
2.3.3 简单优化问题
3. 一元函数积分学
3.1 不定积分
3.1.1 不定积分的概念与性质
- 原函数
- 不定积分的定义
- 不定积分的性质：线性性质
3.1.2 基本积分公式
3.1.3 不定积分的求法
- 直接积分法
- 换元积分法 (第一类、第二类换元积分法)
- 分部积分法
3.2 定积分
3.2.1 定积分的概念与性质
- 定积分的定义
- 定积分的几何意义
- 定积分的性质：线性性质、保号性、积分中值定理
3.2.2 牛顿-莱布尼茨公式
3.2.3 定积分的计算
- 换元积分法
- 分部积分法
3.2.4 广义积分
- 无穷区间上的广义积分
- 无界函数的广义积分
3.3 定积分的应用
3.3.1 几何应用
- 平面图形的面积
- 旋转体的体积
- 曲线的弧长
3.3.2 物理应用
- 变力做功
- 质心
4. 多元函数微积分学
4.1 多元函数微分学
4.1.1 多元函数的概念
- 二元函数及其几何意义
- 多元函数的极限与连续
4.1.2 偏导数
- 偏导数的定义
- 高阶偏导数
4.1.3 全微分
- 全微分的定义
- 可微的充分条件和必要条件
4.1.4 多元复合函数求导法则
- 链式法则
4.1.5 隐函数求导法则
4.1.6 空间曲线的切线与法平面
- 曲面的切平面与法线
4.2 多元函数积分学
4.2.1 二重积分
- 二重积分的定义与性质
- 二重积分的计算 (直角坐标、极坐标)
5. 微分方程
5.1 常微分方程的基本概念
5.2 一阶微分方程
5.2.1 可分离变量的微分方程
5.2.2 齐次微分方程
5.2.3 一阶线性微分方程
- 伯努利方程
5.3 高阶线性微分方程
5.3.1 二阶常系数齐次线性微分方程
- 特征方程
- 解的结构
5.3.2 二阶常系数非齐次线性微分方程
- 特解的形式
- 解的结构
二、线性代数
1. 行列式
1.1 行列式的定义与性质
- n阶行列式的定义
- 行列式的性质
1.2 行列式的计算
- 利用性质化简
- 展开定理
2. 矩阵
2.1 矩阵的概念
- 矩阵的定义
- 特殊矩阵：单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵
2.2 矩阵的运算
- 加法、数乘
- 矩阵乘法
- 转置
- 伴随矩阵
2.3 逆矩阵
- 逆矩阵的定义
- 逆矩阵存在的条件
- 逆矩阵的求法
2.4 矩阵的初等变换与初等矩阵
- 初等变换
- 初等矩阵
- 矩阵的秩
3. 向量
3.1 向量的概念
- 向量的定义
- 线性组合
- 线性相关与线性无关
3.2 向量组的秩
3.3 向量空间
4. 线性方程组
4.1 线性方程组的解
- 齐次线性方程组
- 非齐次线性方程组
4.2 线性方程组解的结构
- 解的性质
5. 特征值与特征向量
5.1 特征值与特征向量的定义与性质
- 特征值、特征向量
- 特征多项式
5.2 矩阵的相似变换
- 相似矩阵
5.3 矩阵的对角化
6. 二次型
6.1 二次型的定义
- 二次型的矩阵表示
6.2 合同变换与合同矩阵
- 合同
6.3 二次型的标准化与规范化
- 配方法
- 正交变换法
6.4 正定二次型
三、概率论与数理统计
1. 随机事件与概率
1.1 随机事件
- 样本空间、事件
1.2 概率的定义与性质
- 古典概型、几何概型
- 条件概率
- 事件的独立性
2. 随机变量及其分布
2.1 随机变量
- 离散型随机变量
- 连续型随机变量
2.2 随机变量的分布函数
2.3 重要的概率分布
- 0-1分布、二项分布、泊松分布
- 均匀分布、指数分布、正态分布
3. 多维随机变量及其分布
3.1 二维随机变量
- 联合分布函数、边缘分布函数
- 条件分布
3.2 随机变量的独立性
4. 随机变量的数字特征
4.1 数学期望
- 数学期望的性质
4.2 方差
- 方差的性质
4.3 协方差与相关系数
5. 大数定律与中心极限定理
5.1 大数定律
5.2 中心极限定理
6. 数理统计的基本概念
6.1 总体、样本、统计量
6.2 抽样分布
- 卡方分布、t分布、F分布
7. 参数估计
7.1 点估计
- 矩估计
- 最大似然估计
7.2 区间估计
8. 假设检验
- 单边检验
- 双边检验
这份思维导图覆盖了考研数学的主要知识点，考生可以根据自己的实际情况进行查漏补缺，并深入理解每一个知识点的内涵与联系，提高解题能力。