《认识分数的思维导图》

一、 分数的意义

1.1 定义

• 1.1.1 含义： 将单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数。
• 1.1.2 单位“1”： 可以是一个物体、一个计量单位，也可以是由许多物体组成的一个整体。

1.2 分数各部分名称

• 1.2.1 分子： 表示取了多少份。
  • 1.2.1.1 含义： 决定了分数的大小（在分母相同的情况下）。
• 1.2.2 分母： 表示把单位“1”平均分成了多少份。
  • 1.2.2.1 含义： 决定了分数的大小（在分子相同的情况下）。
• 1.2.3 分数线： 表示平均分的意思，相当于除号。

1.3 分数的读写

• 1.3.1 读法： 先读分母，再读“分之”，最后读分子。
  • 1.3.1.1 示例： 读作五分之三，写作 3/5。
• 1.3.2 写法： 先写分数线，再写分母，最后写分子。
  • 1.3.2.1 注意： 分数线要写平直。

1.4 分数的分类

• 1.4.1 真分数： 分子小于分母的分数。
  • 1.4.1.1 特点： 真分数小于1。
  • 1.4.1.2 示例： 1/2, 3/4, 5/8
• 1.4.2 假分数： 分子大于或等于分母的分数。
  • 1.4.2.1 特点： 假分数大于或等于1。
  • 1.4.2.2 示例： 5/5, 7/3, 9/4
• 1.4.3 带分数： 整数部分和一个真分数组成的数。
  • 1.4.3.1 形式： 整数 + 真分数
  • 1.4.3.2 示例： 1 1/2, 2 3/4, 5 1/8
• 1.4.4 整数： 可以看作分母是1的假分数。
  • 1.4.4.1 示例： 3 = 3/1

二、 分数的基本性质

2.1 定义

• 2.1.1 内容： 分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。
• 2.1.2 关键：
  • 2.1.2.1 同时： 分子和分母必须同时进行相同的运算。
  • 2.1.2.2 相同： 必须是相同的数。
  • 2.1.2.3 除外： 0不能作为乘数或除数。

2.2 应用

• 2.2.1 约分： 将一个分数的分子和分母同时除以它们的公约数，使分数简化。
  • 2.2.1.1 最简分数： 分子和分母只有公约数1的分数。
  • 2.2.1.2 方法： 不断除以公约数，直到成为最简分数。
• 2.2.2 通分： 将几个异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数。
  • 2.2.2.1 公分母： 通常取原来几个分母的最小公倍数作为公分母。
  • 2.2.2.2 方法： 先找公分母，然后将每个分数的分子和分母同时乘以一个适当的数。

三、 分数与除法的关系

3.1 关系式

• 3.1.1 公式： 被除数 ÷ 除数 = 被除数/除数
• 3.1.2 条件： 除数不能为0，分母也不能为0。

3.2 应用

• 3.2.1 将除法算式改写成分数形式。
  • 3.2.1.1 示例： 3 ÷ 5 = 3/5
• 3.2.2 将分数改写成除法算式。
  • 3.2.2.1 示例： 2/7 = 2 ÷ 7
• 3.2.3 解决实际问题：
  • 3.2.3.1 平均分问题： 将一个整体平均分成几份，求每份是多少，可以用除法，也可以用分数表示。

四、 假分数化成整数或带分数

4.1 假分数化成整数

• 4.1.1 条件： 分子是分母的倍数。
• 4.1.2 方法： 用分子除以分母，所得的商就是整数。
  • 4.1.2.1 示例： 8/4 = 8 ÷ 4 = 2

4.2 假分数化成带分数

• 4.2.1 条件： 分子不是分母的倍数。
• 4.2.2 方法： 用分子除以分母，所得的商是带分数的整数部分，余数是带分数的分数部分的分子，分母不变。
  • 4.2.2.1 示例： 7/3 = 2 1/3 (7 ÷ 3 = 2...1)

五、 带分数化成假分数

5.1 方法

• 5.1.1 步骤： 用整数部分乘以分母，加上分子，所得的和作为假分数的分子，分母不变。
• 5.1.2 公式： (整数 × 分母 + 分子) / 分母
  • 5.1.2.1 示例： 2 1/3 = (2 × 3 + 1) / 3 = 7/3

六、 分数大小的比较

6.1 同分母分数

• 6.1.1 规则： 分子大的分数就大。
  • 6.1.1.1 示例： 3/5 > 2/5

6.2 同分子分数

• 6.2.1 规则： 分母小的分数就大。
  • 6.2.1.1 示例： 2/3 > 2/5

6.3 异分母分数

• 6.3.1 方法： 先通分，化成同分母分数，然后比较分子的大小。
  • 6.3.1.1 示例： 1/2 和 2/5， 通分后为 5/10 和 4/10， 所以 1/2 > 2/5
• 6.3.2 特殊情况： 可以将分数与1/2比较，或者进行其他转化比较。
  • 6.3.2.1 示例： 比较3/7 和 4/9， 3/7 < 1/2， 4/9 < 1/2， 难以直接比较。

七、 分数的应用

7.1 解决实际问题

• 7.1.1 明确单位“1”： 确定哪个量是单位“1”。
• 7.1.2 分析数量关系： 找出题目中的已知条件和未知条件之间的关系。
• 7.1.3 选择正确方法： 运用分数的知识解决问题。
• 7.1.4 检验： 验证答案的正确性。

7.2 常见类型

• 7.2.1 求一个数是另一个数的几分之几。
• 7.2.2 求一个数的几分之几是多少。
• 7.2.3 比较两个分数的大小在实际问题中的应用。

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