《一元函数的导数及其应用的思维导图》

I. 导数的概念

A. 定义

• 1. 函数的增量： Δy = f(x₀ + Δx) - f(x₀)
• 2. 平均变化率： Δy/Δx = (f(x₀ + Δx) - f(x₀))/Δx
• 3. 导数定义： f'(x₀) = lim (Δx→0) (f(x₀ + Δx) - f(x₀))/Δx (极限存在)
• 4. 导函数： f'(x) = lim (Δx→0) (f(x + Δx) - f(x))/Δx

B. 几何意义

• 1. 切线斜率： f'(x₀) 表示曲线 y = f(x) 在点 (x₀, f(x₀)) 处的切线斜率
• 2. 切线方程： y - f(x₀) = f'(x₀)(x - x₀)

C. 物理意义

• 1. 瞬时速度： s'(t) 表示 t 时刻的瞬时速度
• 2. 瞬时加速度： v'(t) 表示 t 时刻的瞬时加速度

D. 可导与连续的关系

• 1. 可导必连续： 函数在某点可导，则在该点必连续。
• 2. 连续不一定可导： 函数在某点连续，不一定在该点可导。 (例如，尖点)

II. 导数的运算

A. 基本初等函数的导数公式

• 1. 常数函数： (C)' = 0
• 2. 幂函数： (xⁿ)' = nxⁿ⁻¹ (n ∈ R)
• 3. 指数函数： (aˣ)' = aˣ ln a; (eˣ)' = eˣ
• 4. 对数函数： (logₐ x)' = 1/(x ln a); (ln x)' = 1/x
• 5. 三角函数： (sin x)' = cos x; (cos x)' = -sin x; (tan x)' = sec²x; (cot x)' = -csc²x

B. 导数的运算法则

• 1. 和差： (u ± v)' = u' ± v'
• 2. 积： (uv)' = u'v + uv'
• 3. 商： (u/v)' = (u'v - uv')/v² (v ≠ 0)

C. 复合函数的导数

• 1. 链式法则： dy/dx = dy/du * du/dx

III. 导数的应用

A. 函数的单调性

• 1. 判定定理：
  • 若 f'(x) > 0 在 (a, b) 上恒成立，则 f(x) 在 (a, b) 上单调递增。
  • 若 f'(x) < 0 在 (a, b) 上恒成立，则 f(x) 在 (a, b) 上单调递减。
• 2. 注意： f'(x) ≥ 0 (或 f'(x) ≤ 0) 并不等价于 f(x) 单调递增 (或递减)。 需要考虑 f'(x) = 0 的情况，例如常数函数。

B. 函数的极值

• 1. 极值定义：
  • 极大值：在 x₀ 附近，f(x₀) ≥ f(x)
  • 极小值：在 x₀ 附近，f(x₀) ≤ f(x)
• 2. 必要条件： 若 f(x) 在 x₀ 处取得极值，且 f'(x₀) 存在，则 f'(x₀) = 0。
• 3. 充分条件：
  • 如果在 x₀ 附近的左侧 f'(x) > 0，右侧 f'(x) < 0，则 f(x₀) 是极大值。
  • 如果在 x₀ 附近的左侧 f'(x) < 0，右侧 f'(x) > 0，则 f(x₀) 是极小值。
• 4. 注意： f'(x₀) = 0 只是取得极值的必要条件，不是充分条件。 导数为零的点可能是极值点，也可能是驻点（拐点）。

C. 函数的最大值与最小值

• 1. 求法：
  • 求出 f(x) 在 [a, b] 上的所有极值点。
  • 计算 f(a), f(b) 以及所有极值点的函数值。
  • 比较这些值，最大的为最大值，最小的为最小值。
• 2. 应用： 解决实际问题中的最优化问题。

D. 曲线的凹凸性与拐点

• 1. 凹凸性：
  • 若 f''(x) > 0，则曲线是凹的（下凹）。
  • 若 f''(x) < 0，则曲线是凸的（上凸）。
• 2. 拐点：
  • 拐点定义：曲线凹凸性改变的点。
  • 必要条件：f''(x₀) = 0 或者 f''(x₀) 不存在。
  • 充分条件：在 x₀ 附近的左侧 f''(x) 与右侧 f''(x) 异号。
• 3. 注意： f''(x₀) = 0 只是取得拐点的必要条件，不是充分条件。

E. 函数图像的绘制

• 1. 定义域、值域
• 2. 奇偶性、周期性
• 3. 渐近线 (水平、垂直、斜渐近线)
• 4. 单调性、极值、凹凸性、拐点
• 5. 特殊点 (与坐标轴的交点)

F. 导数在不等式中的应用

• 1. 证明不等式：
  • 构造函数，利用函数的单调性证明。
  • 构造函数，利用函数的最大值或最小值证明。
• 2. 解决不等式恒成立问题：
  • 转化为函数的最值问题。

G. 导数在方程的根的问题中的应用

• 1. 判断方程根的个数：
  • 转化为函数图像的交点个数问题。
• 2. 确定方程根的范围：
  • 利用函数的单调性与极值。

IV. 典型题型

• 1. 求切线方程
• 2. 判定单调区间
• 3. 求极值、最值
• 4. 证明不等式
• 5. 解决实际应用问题 (例如，利润最大化，成本最小化)
• 6. 综合问题 (涉及多个知识点，例如导数与三角函数、导数与数列、导数与参数方程)

上一个主题： 西游记思维导图 下一个主题： Night Animals思维导图