高一上数学思维导图

# 《高一上数学思维导图》

## I. 集合与常用逻辑用语

### A. 集合

*   **1. 集合的概念**
    *   *a.* 定义：具有某种特定性质的对象的全体构成一个集合。
    *   *b.* 元素：集合中的每个对象叫做集合的元素。
    *   *c.* 集合的表示法：列举法、描述法、图示法（Venn图）。
    *   *d.* 集合的分类：有限集、无限集、空集。

*   **2. 集合间的基本关系**
    *   *a.* 子集：若A中的任一元素都在B中，则A是B的子集，记作A⊆B。
    *   *b.* 真子集：若A⊆B，且A≠B，则A是B的真子集，记作A⊂B。
    *   *c.* 相等：若A⊆B且B⊆A，则A=B。
    *   *d.* 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

*   **3. 集合的基本运算**
    *   *a.* 并集：A∪B = {x | x∈A或x∈B}
        *   *i.* 性质：A∪A=A, A∪∅=A, A∪B=B∪A, A⊆(A∪B), B⊆(A∪B), 若A⊆B，则A∪B=B。
    *   *b.* 交集：A∩B = {x | x∈A且x∈B}
        *   *i.* 性质：A∩A=A, A∩∅=∅, A∩B=B∩A, (A∩B)⊆A, (A∩B)⊆B, 若A⊆B，则A∩B=A。
    *   *c.* 补集：∁UA = {x | x∈U且x∉A}，U为全集
        *   *i.* 性质：A∪(∁UA)=U, A∩(∁UA)=∅, ∁U(∁UA)=A

*   **4. 集合的应用**
    *   *a.* 数轴表示法：适用于解不等式等问题，结合数形结合思想。
    *   *b.* Venn图法：适用于元素个数较少，关系明确的问题。
    *   *c.* 利用集合语言描述数学问题，如函数的定义域、值域等。

### B. 常用逻辑用语

*   **1. 命题及其关系**
    *   *a.* 命题：能判断真假的语句。
    *   *b.* 简单命题与复合命题：由逻辑联结词连接简单命题构成的命题。
    *   *c.* 四种命题：原命题、逆命题、否命题、逆否命题。
        *   *i.* 原命题：若p则q。
        *   *ii.* 逆命题：若q则p。
        *   *iii.* 否命题：若¬p则¬q。
        *   *iv.* 逆否命题：若¬q则¬p。
    *   *d.* 四种命题间的关系：原命题与逆否命题等价，逆命题与否命题等价。

*   **2. 充分条件与必要条件**
    *   *a.* 定义：若p=>q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件。
    *   *b.* 充分必要条件（充要条件）：若p<=>q，则p是q的充要条件。
    *   *c.* 判断方法：逻辑推理、集合包含关系。

*   **3. 全称量词与存在量词**
    *   *a.* 全称量词：表示“所有”、“任意”等，记作∀。
    *   *b.* 全称命题：含有全称量词的命题，形式为∀x∈M, p(x)。
    *   *c.* 存在量词：表示“存在”、“至少有一个”等，记作∃。
    *   *d.* 特称命题：含有存在量词的命题，形式为∃x∈M, p(x)。
    *   *e.* 全称命题的否定：¬(∀x∈M, p(x)) ≡ ∃x∈M, ¬p(x)。
    *   *f.* 特称命题的否定：¬(∃x∈M, p(x)) ≡ ∀x∈M, ¬p(x)。

## II. 函数概念与基本初等函数I

### A. 函数的概念与表示

*   **1. 函数的概念**
    *   *a.* 定义：设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A。
    *   *b.* 定义域：A，即x的取值范围。
    *   *c.* 值域：{y | y=f(x), x∈A}
    *   *d.* 函数的三要素：定义域、值域、对应关系。

*   **2. 函数的表示方法**
    *   *a.* 解析法：用数学表达式表示函数关系。
    *   *b.* 图像法：用图像表示函数关系。
    *   *c.* 列表法：列出表格来表示函数关系。

*   **3. 分段函数**
    *   *a.* 定义：在定义域的不同部分，有不同的对应法则的函数。
    *   *b.* 注意事项：分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。

*   **4. 函数的图像**
    *   *a.* 定义：由所有点(x, f(x))组成的集合。
    *   *b.* 图像的画法：描点法、图像变换法。

### B. 函数的基本性质

*   **1. 函数的单调性**
    *   *a.* 增函数：在区间D上，对于任意x1, x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，则f(x)在D上是增函数。
    *   *b.* 减函数：在区间D上，对于任意x1, x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，则f(x)在D上是减函数。
    *   *c.* 单调区间的求法：定义法、导数法（导数大于0为增函数，小于0为减函数）。

*   **2. 函数的奇偶性**
    *   *a.* 偶函数：对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，则f(x)是偶函数。 图像关于y轴对称。
    *   *b.* 奇函数：对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，则f(x)是奇函数。 图像关于原点对称。
    *   *c.* 注意事项：奇函数的定义域必须关于原点对称，偶函数的定义域也必须关于原点对称。
    *   *d.* 判断方法：定义法、图像法。

*   **3. 函数的周期性**
    *   *a.* 定义：如果存在一个非零常数T，使得对于f(x)定义域内的每一个x，都有f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，T叫做这个函数的周期。

### C. 基本初等函数I

*   **1. 指数函数**
    *   *a.* 定义：y=ax (a>0且a≠1)
    *   *b.* 图像：a>1时，单调递增；0<a<1时，单调递减。
    *   *c.* 性质：
        *   *i.* 定义域：R
        *   *ii.* 值域：(0, +∞)
        *   *iii.* 过定点(0,1)
    *   *d.* 指数运算性质: am * an = a(m+n), am / an = a(m-n), (am)n = amn, (ab)n = anbn

*   **2. 对数函数**
    *   *a.* 定义：y=logax (a>0且a≠1)
    *   *b.* 图像：a>1时，单调递增；0<a<1时，单调递减。
    *   *c.* 性质：
        *   *i.* 定义域：(0, +∞)
        *   *ii.* 值域：R
        *   *iii.* 过定点(1,0)
    *   *d.* 对数运算性质: loga(MN) = logaM + logaN, loga(M/N) = logaM - logaN, logaMn = nlogaM
    *   *e.* 换底公式：logab = logcb / logca

*   **3. 幂函数**
    *   *a.* 定义：y=xα (α∈R)
    *   *b.* 图像：因α取值不同而异，需分类讨论。
    *   *c.* 性质：根据α的不同取值，分别讨论定义域、值域、奇偶性、单调性。 重点记住 α = 1, 2, 3, 1/2, -1时的图像和性质。

*   **4. 函数的应用**
    *   *a.* 利用函数的性质（单调性、奇偶性）解题：比较大小、解不等式、求值域。
    *   *b.* 函数与方程：函数的零点问题。
    *   *c.* 函数模型的应用：建立实际问题的函数模型并求解。
    *   *d.* 函数图像的变换：平移变换、对称变换、伸缩变换。

## III. 立体几何初步

### A. 空间几何体的结构

*   **1. 柱体**
    *   *a.* 定义：由两个互相平行的平面作为底面，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做柱体。
    *   *b.* 分类：直棱柱、斜棱柱、正棱柱。
    *   *c.* 棱柱的性质：侧棱平行且相等，上下底面是全等的多边形。

*   **2. 锥体**
    *   *a.* 定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做锥体。
    *   *b.* 分类：正棱锥、斜棱锥。
    *   *c.* 棱锥的性质：侧棱交于一点，侧面是三角形，底面是多边形。

*   **3. 台体**
    *   *a.* 定义：用一个平行于锥体底面的平面截锥体，底面与截面之间的部分叫做台体。
    *   *b.* 分类：正棱台、斜棱台。
    *   *c.* 棱台的性质：上下底面是相似多边形，侧面是梯形。

*   **4. 球体**
    *   *a.* 定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体。
    *   *b.* 球的性质：球面上任意一点到球心的距离都等于半径。

### B. 空间几何体的三视图和直观图

*   **1. 三视图**
    *   *a.* 定义：正视图、侧视图、俯视图。
    *   *b.* 规则：长对正，高平齐，宽相等。
    *   *c.* 由三视图还原几何体：结合三视图想象几何体的形状和大小。

*   **2. 直观图**
    *   *a.* 斜二测画法：用平行投影的方法画空间图形的直观图。
    *   *b.* 步骤：
        *   *i.* 建坐标系：在已知图形中建立直角坐标系。
        *   *ii.* 画轴：在直观图中画x'轴，y'轴，z'轴，使∠x'Oy' = 135°(或45°)，∠z'Ox' = ∠z'Oy' = 90°。
        *   *iii.* 画图形：对应于已知图形中的点在直观图中描点。
        *   *iv.* 连接：连接各点成图，注意实线和虚线。

### C. 空间几何体的表面积与体积

*   **1. 柱体的表面积与体积**
    *   *a.* 表面积：S = 2S底 + S侧
    *   *b.* 体积：V = S底h

*   **2. 锥体的表面积与体积**
    *   *a.* 表面积：S = S底 + S侧
    *   *b.* 体积：V = (1/3)S底h

*   **3. 台体的表面积与体积**
    *   *a.* 表面积：S = S上底 + S下底 + S侧
    *   *b.* 体积：V = (1/3)h(S上底 + S下底 + √(S上底*S下底))

*   **4. 球体的表面积与体积**
    *   *a.* 表面积：S = 4πR2
    *   *b.* 体积：V = (4/3)πR3

### D. 点、直线、平面之间的位置关系

*   **1. 平面的基本性质**
    *   *a.* 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
    *   *b.* 公理2：过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。
    *   *c.* 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
    *   *d.* 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

*   **2. 直线与直线的位置关系**
    *   *a.* 相交直线：有且只有一个公共点。
    *   *b.* 平行直线：在同一平面内，没有公共点。
    *   *c.* 异面直线：不在同一平面内。

*   **3. 直线与平面的位置关系**
    *   *a.* 直线在平面内：有无数个公共点。
    *   *b.* 直线与平面相交：有且只有一个公共点。
    *   *c.* 直线与平面平行：没有公共点。

*   **4. 平面与平面的位置关系**
    *   *a.* 平面与平面相交：有一条公共直线。
    *   *b.* 平面与平面平行：没有公共点。

*   **5. 空间角**
    *   *a.* 异面直线所成的角
    *   *b.* 直线与平面所成的角
    *   *c.* 二面角
*   **6. 空间距离**
    *   *a.* 点到点的距离
    *   *b.* 点到线的距离
    *   *c.* 点到面的距离
    *   *d.* 线到线的距离
    *   *e.* 线到面的距离
    *   *f.* 面到面的距离

《高一上数学思维导图》

I. 集合与常用逻辑用语

A. 集合

1. 集合的概念
- a. 定义：具有某种特定性质的对象的全体构成一个集合。
- b. 元素：集合中的每个对象叫做集合的元素。
- c. 集合的表示法：列举法、描述法、图示法（Venn图）。
- d. 集合的分类：有限集、无限集、空集。
2. 集合间的基本关系
- a. 子集：若A中的任一元素都在B中，则A是B的子集，记作A⊆B。
- b. 真子集：若A⊆B，且A≠B，则A是B的真子集，记作A⊂B。
- c. 相等：若A⊆B且B⊆A，则A=B。
- d. 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
3. 集合的基本运算
- a. 并集：A∪B = {x | x∈A或x∈B}
  - i. 性质：A∪A=A, A∪∅=A, A∪B=B∪A, A⊆(A∪B), B⊆(A∪B), 若A⊆B，则A∪B=B。
- b. 交集：A∩B = {x | x∈A且x∈B}
  - i. 性质：A∩A=A, A∩∅=∅, A∩B=B∩A, (A∩B)⊆A, (A∩B)⊆B, 若A⊆B，则A∩B=A。
- c. 补集：∁UA = {x | x∈U且x∉A}，U为全集
  - i. 性质：A∪(∁UA)=U, A∩(∁UA)=∅, ∁U(∁UA)=A
4. 集合的应用
- a. 数轴表示法：适用于解不等式等问题，结合数形结合思想。
- b. Venn图法：适用于元素个数较少，关系明确的问题。
- c. 利用集合语言描述数学问题，如函数的定义域、值域等。

B. 常用逻辑用语

1. 命题及其关系
- a. 命题：能判断真假的语句。
- b. 简单命题与复合命题：由逻辑联结词连接简单命题构成的命题。
- c. 四种命题：原命题、逆命题、否命题、逆否命题。
  - i. 原命题：若p则q。
  - ii. 逆命题：若q则p。
  - iii. 否命题：若¬p则¬q。
  - iv. 逆否命题：若¬q则¬p。
- d. 四种命题间的关系：原命题与逆否命题等价，逆命题与否命题等价。
2. 充分条件与必要条件
- a. 定义：若p=>q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件。
- b. 充分必要条件（充要条件）：若p<=>q，则p是q的充要条件。
- c. 判断方法：逻辑推理、集合包含关系。
3. 全称量词与存在量词
- a. 全称量词：表示“所有”、“任意”等，记作∀。
- b. 全称命题：含有全称量词的命题，形式为∀x∈M, p(x)。
- c. 存在量词：表示“存在”、“至少有一个”等，记作∃。
- d. 特称命题：含有存在量词的命题，形式为∃x∈M, p(x)。
- e. 全称命题的否定：¬(∀x∈M, p(x)) ≡ ∃x∈M, ¬p(x)。
- f. 特称命题的否定：¬(∃x∈M, p(x)) ≡ ∀x∈M, ¬p(x)。

II. 函数概念与基本初等函数I

A. 函数的概念与表示

1. 函数的概念
- a. 定义：设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A。
- b. 定义域：A，即x的取值范围。
- c. 值域：{y | y=f(x), x∈A}
- d. 函数的三要素：定义域、值域、对应关系。
2. 函数的表示方法
- a. 解析法：用数学表达式表示函数关系。
- b. 图像法：用图像表示函数关系。
- c. 列表法：列出表格来表示函数关系。
3. 分段函数
- a. 定义：在定义域的不同部分，有不同的对应法则的函数。
- b. 注意事项：分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。
4. 函数的图像
- a. 定义：由所有点(x, f(x))组成的集合。
- b. 图像的画法：描点法、图像变换法。

B. 函数的基本性质

1. 函数的单调性
- a. 增函数：在区间D上，对于任意x1, x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，则f(x)在D上是增函数。
- b. 减函数：在区间D上，对于任意x1, x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，则f(x)在D上是减函数。
- c. 单调区间的求法：定义法、导数法（导数大于0为增函数，小于0为减函数）。
2. 函数的奇偶性
- a. 偶函数：对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，则f(x)是偶函数。图像关于y轴对称。
- b. 奇函数：对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，则f(x)是奇函数。图像关于原点对称。
- c. 注意事项：奇函数的定义域必须关于原点对称，偶函数的定义域也必须关于原点对称。
- d. 判断方法：定义法、图像法。
3. 函数的周期性
- a. 定义：如果存在一个非零常数T，使得对于f(x)定义域内的每一个x，都有f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，T叫做这个函数的周期。

C. 基本初等函数I

1. 指数函数
- a. 定义：y=ax (a>0且a≠1)
- b. 图像：a>1时，单调递增；0<a<1时，单调递减。
- c. 性质：
  - i. 定义域：R
  - ii. 值域：(0, +∞)
  - iii. 过定点(0,1)
- d. 指数运算性质: am * an = a(m+n), am / an = a(m-n), (am)n = amn, (ab)n = anbn
2. 对数函数
- a. 定义：y=logax (a>0且a≠1)
- b. 图像：a>1时，单调递增；0<a<1时，单调递减。
- c. 性质：
  - i. 定义域：(0, +∞)
  - ii. 值域：R
  - iii. 过定点(1,0)
- d. 对数运算性质: loga(MN) = logaM + logaN, loga(M/N) = logaM - logaN, logaMn = nlogaM
- e. 换底公式：logab = logcb / logca
3. 幂函数
- a. 定义：y=xα (α∈R)
- b. 图像：因α取值不同而异，需分类讨论。
- c. 性质：根据α的不同取值，分别讨论定义域、值域、奇偶性、单调性。重点记住 α = 1, 2, 3, 1/2, -1时的图像和性质。
4. 函数的应用
- a. 利用函数的性质（单调性、奇偶性）解题：比较大小、解不等式、求值域。
- b. 函数与方程：函数的零点问题。
- c. 函数模型的应用：建立实际问题的函数模型并求解。
- d. 函数图像的变换：平移变换、对称变换、伸缩变换。

III. 立体几何初步

A. 空间几何体的结构

1. 柱体
- a. 定义：由两个互相平行的平面作为底面，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做柱体。
- b. 分类：直棱柱、斜棱柱、正棱柱。
- c. 棱柱的性质：侧棱平行且相等，上下底面是全等的多边形。
2. 锥体
- a. 定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做锥体。
- b. 分类：正棱锥、斜棱锥。
- c. 棱锥的性质：侧棱交于一点，侧面是三角形，底面是多边形。
3. 台体
- a. 定义：用一个平行于锥体底面的平面截锥体，底面与截面之间的部分叫做台体。
- b. 分类：正棱台、斜棱台。
- c. 棱台的性质：上下底面是相似多边形，侧面是梯形。
4. 球体
- a. 定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体。
- b. 球的性质：球面上任意一点到球心的距离都等于半径。

B. 空间几何体的三视图和直观图

1. 三视图
- a. 定义：正视图、侧视图、俯视图。
- b. 规则：长对正，高平齐，宽相等。
- c. 由三视图还原几何体：结合三视图想象几何体的形状和大小。
2. 直观图
- a. 斜二测画法：用平行投影的方法画空间图形的直观图。
- b. 步骤：
  - i. 建坐标系：在已知图形中建立直角坐标系。
  - ii. 画轴：在直观图中画x'轴，y'轴，z'轴，使∠x'Oy' = 135°(或45°)，∠z'Ox' = ∠z'Oy' = 90°。
  - iii. 画图形：对应于已知图形中的点在直观图中描点。
  - iv. 连接：连接各点成图，注意实线和虚线。

C. 空间几何体的表面积与体积

1. 柱体的表面积与体积
- a. 表面积：S = 2S底 + S侧
- b. 体积：V = S底h
2. 锥体的表面积与体积
- a. 表面积：S = S底 + S侧
- b. 体积：V = (1/3)S底h
3. 台体的表面积与体积
- a. 表面积：S = S上底 + S下底 + S侧
- b. 体积：V = (1/3)h(S上底 + S下底 + √(S上底*S下底))
4. 球体的表面积与体积
- a. 表面积：S = 4πR2
- b. 体积：V = (4/3)πR3

D. 点、直线、平面之间的位置关系

1. 平面的基本性质
- a. 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
- b. 公理2：过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。
- c. 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
- d. 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
2. 直线与直线的位置关系
- a. 相交直线：有且只有一个公共点。
- b. 平行直线：在同一平面内，没有公共点。
- c. 异面直线：不在同一平面内。
3. 直线与平面的位置关系
- a. 直线在平面内：有无数个公共点。
- b. 直线与平面相交：有且只有一个公共点。
- c. 直线与平面平行：没有公共点。
4. 平面与平面的位置关系
- a. 平面与平面相交：有一条公共直线。
- b. 平面与平面平行：没有公共点。
5. 空间角
- a. 异面直线所成的角
- b. 直线与平面所成的角
- c. 二面角
6. 空间距离
- a. 点到点的距离
- b. 点到线的距离
- c. 点到面的距离
- d. 线到线的距离
- e. 线到面的距离
- f. 面到面的距离

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