《北京版数学教材六年级上册分数乘除法单元的思维导图》

中心主题：分数乘除法

一级分支：分数乘法

• 二级分支：分数乘整数
  • 定义：求几个相同分数的和的简便运算。
  • 计算方法：
    • 分子与整数相乘，分母不变。
    • 结果要化简（化为最简分数）。
  • 难点：理解“几个相同分数相加”的含义。
  • 例题：
    • (2/5) × 3 = (2×3)/5 = 6/5
    • (1/4) × 8 = (1×8)/4 = 8/4 = 2
  • 易错点：直接将整数与分子分母都相乘。
• 二级分支：分数乘分数
  • 定义：求一个数的几分之几是多少。
  • 计算方法：
    • 分子与分子相乘，分母与分母相乘。
    • 能约分的先约分，再计算，使计算简便。
    • 结果要化简（化为最简分数）。
  • 难点：理解“一个数的几分之几”的含义，以及约分的技巧。
  • 例题：
    • (1/2) × (2/3) = (1×2)/(2×3) = 2/6 = 1/3
    • (3/4) × (8/9) = (3×8)/(4×9) = (1×2)/(1×3) = 2/3 (先约分)
  • 易错点：忘记约分，或者约分错误；分子和分母颠倒相乘。
• 二级分支：积与因数的关系
  • 当一个因数大于1时，积大于另一个因数。
  • 当一个因数等于1时，积等于另一个因数。
  • 当一个因数小于1时，积小于另一个因数。
  • 应用：判断大小关系，估算乘积。
  • 例题：
    • (5/7) × 2 > (5/7) (因为2>1)
    • (3/8) × (1/2) < (3/8) (因为1/2<1)
• 二级分支：混合运算
  • 运算顺序：先乘除，后加减；有括号的先算括号里面的。
  • 技巧：合理运用运算定律进行简便计算（乘法交换律、结合律、分配律）。
  • 例题：
    • (1/2 + 1/3) × (3/4)
    • (2/5) × (1/4) + (3/5) × (1/4) = (2/5 + 3/5) × (1/4) = 1 × (1/4) = 1/4 （运用分配律）
• 二级分支：解决问题
  • 求一个数的几分之几是多少的问题：用乘法计算。
  • 单位“1”：找准单位“1”，通常是“的”字前面的量。
  • 线段图：用线段图辅助分析数量关系，特别是复杂的问题。
  • 例题：
    • 一本书有120页，小明看了这本书的 2/3，小明看了多少页？ (120 × 2/3 = 80页)
    • 一个苹果重 1/4 千克，3 个苹果重多少千克？ (1/4 × 3 = 3/4 千克)

一级分支：分数除法

• 二级分支：倒数的认识
  • 定义：乘积是1的两个数互为倒数。
  • 求一个数的倒数：
    • 求整数的倒数：用1除以这个整数。
    • 求分数的倒数：交换分子、分母的位置。
    • 求小数的倒数：先将小数化成分数，再求倒数。
  • 特殊情况：1的倒数是1，0没有倒数。
  • 重要性：是分数除法计算的基础。
  • 易错点：认为“倒数”就是“倒过来的数”。
• 二级分支：分数除以整数
  • 定义：将一个分数平均分成几份，求每份是多少。
  • 计算方法：
    • 除以一个整数，等于乘这个整数的倒数。
    • 分子不变，分母乘整数（整数不能为0）。
    • 结果要化简。
  • 难点：理解“除以一个数等于乘这个数的倒数”。
  • 例题：
    • (3/4) ÷ 2 = (3/4) × (1/2) = 3/8
    • (5/6) ÷ 5 = (5/6) × (1/5) = 1/6
  • 易错点：颠倒被除数和除数的位置。
• 二级分支：一个数除以分数
  • 定义：已知一个数是另一个数的几分之几，求另一个数是多少。
  • 计算方法：
    • 除以一个分数，等于乘这个分数的倒数。
  • 难点：理解“除以一个分数”的含义。
  • 例题：
    • 5 ÷ (1/2) = 5 × 2 = 10
    • (2/3) ÷ (1/4) = (2/3) × 4 = 8/3
  • 易错点：仍然颠倒被除数和除数的位置。
• 二级分支：分数混合运算
  • 运算顺序：与整数混合运算相同。
  • 技巧：合理运用运算定律进行简便计算。
  • 例题：
    • (1/2) ÷ (1/4) + (1/3)
    • (2/5) ÷ (3/4) × (5/8)
• 二级分支：解决问题
  • 已知一个数的几分之几是多少，求这个数：用除法计算。
  • 单位“1”：找准单位“1”，通常是“的”字前面的量，但此时单位“1”是未知的。
  • 线段图：用线段图辅助分析数量关系。
  • 方程法：可以设未知数为x，列方程解决问题。
  • 例题：
    • 一本书，小明看了80页，看了全书的 2/3，这本书共有多少页？ (80 ÷ 2/3 = 120页)
    • 一袋面粉重 3/4 千克，用去了这袋面粉的 1/3，用去了多少千克？ (3/4 × 1/3 = 1/4 千克) (注意与已知一个数的几分之几的问题区分)

一级分支：比的应用

• 二级分支：比的意义与化简
  • 定义：两个数相除又叫做两个数的比。
  • 比的各部分名称：前项：后项，比值
  • 比的化简：
    • 化简整数比：同时除以最大公约数。
    • 化简分数比：先通分，再化简分子。
    • 化简小数比：先化成整数比，再化简。
  • 比值与比的区别：比值是一个数，比表示一种关系。
• 二级分支：按比例分配
  • 定义：把一个数量按照一定的比进行分配。
  • 计算方法：
    • 先求总份数。
    • 再求每份数是多少。
    • 最后求各部分是多少。
  • 例题：
    • 一个班级男生女生人数比是3:2，班级总人数是40人，求男生女生各有多少人？
    • 一个长方形周长是20厘米，长和宽的比是3:2，求长方形的面积。

总结：

• 掌握分数乘除法的计算方法和运算顺序是关键。
• 理解分数乘除法的意义和应用，能够解决实际问题。
• 灵活运用运算定律进行简便计算。
• 通过画线段图等方法，分析数量关系，提高解决问题的能力。
• 注意区分“求一个数的几分之几”和“已知一个数的几分之几求这个数”两种问题的解法。