《圆锥曲线知识点总结思维导图》

一、 概述

• 定义： 满足特定几何条件的点的轨迹，可由平面截圆锥面得到。
• 分类：
  • 椭圆 (E): (x²/a²) + (y²/b²) = 1 (a>b>0)
  • 双曲线 (H): (x²/a²) - (y²/b²) = 1 (a>0, b>0)
  • 抛物线 (P): y² = 2px (p>0) 或 x² = 2py (p>0)
  • 圆 (C): (x-a)² + (y-b)² = r² (可视为椭圆的特殊情况)

二、 椭圆 (E): (x²/a²) + (y²/b²) = 1 (a>b>0)

• 基本要素：
  • 焦点：F₁( -c, 0), F₂(c, 0) (c² = a² - b²)
  • 顶点：A₁( -a, 0), A₂(a, 0), B₁(0, -b), B₂(0, b)
  • 长轴：2a
  • 短轴：2b
  • 中心：(0, 0)
  • 焦距：2c
  • 离心率：e = c/a (0 < e < 1)
• 性质：
  • 定义：|PF₁| + |PF₂| = 2a (P为椭圆上任意一点)
  • 对称性：关于 x 轴，y 轴，原点对称。
  • 范围：-a ≤ x ≤ a, -b ≤ y ≤ b
  • 离心率与椭圆形状：e 越接近 0，椭圆越接近圆；e 越接近 1，椭圆越扁。
  • 第二定义：点P到定点F的距离与到定直线L的距离之比等于常数e (0<e<1)。L为准线，方程为x=±a²/c
  • 焦点弦：过焦点的弦。若AB为焦点弦，|AB| = 2a - e(x₁+x₂)
• 方程：
  • 标准方程：(x²/a²) + (y²/b²) = 1 (焦点在 x 轴) 或 (y²/a²) + (x²/b²) = 1 (焦点在 y 轴)
  • 参数方程：x = a cosθ, y = b sinθ (θ为参数)

三、 双曲线 (H): (x²/a²) - (y²/b²) = 1 (a>0, b>0)

• 基本要素：
  • 焦点：F₁( -c, 0), F₂(c, 0) (c² = a² + b²)
  • 顶点：A₁( -a, 0), A₂(a, 0)
  • 实轴：2a
  • 虚轴：2b
  • 中心：(0, 0)
  • 焦距：2c
  • 离心率：e = c/a (e > 1)
  • 渐近线：y = ±(b/a)x
• 性质：
  • 定义：||PF₁| - |PF₂|| = 2a (P为双曲线上任意一点)
  • 对称性：关于 x 轴，y 轴，原点对称。
  • 范围：|x| ≥ a
  • 离心率与双曲线形状：e 越大，双曲线开口越大；e 越接近 1，双曲线开口越小。
  • 第二定义：点P到定点F的距离与到定直线L的距离之比等于常数e (e>1)。L为准线，方程为x=±a²/c
  • 焦点弦：过焦点的弦。若AB为焦点弦，|AB| = e(x₁+x₂) - 2a
• 方程：
  • 标准方程：(x²/a²) - (y²/b²) = 1 (焦点在 x 轴) 或 (y²/a²) - (x²/b²) = 1 (焦点在 y 轴)
  • 渐近线方程：y = ±(b/a)x 或 ax ± by = 0

四、 抛物线 (P): y² = 2px (p>0)

• 基本要素：
  • 焦点：F(p/2, 0)
  • 顶点：(0, 0)
  • 准线：x = -p/2
  • p：焦点到准线的距离
• 性质：
  • 定义：|PF| = d (P到焦点F的距离等于P到准线的距离，d为点到准线的距离)
  • 对称性：关于 x 轴对称。
  • 范围：x ≥ 0
  • 焦半径：|PF| = x₀ + p/2 (P(x₀, y₀)为抛物线上一点)
  • 焦点弦：过焦点的弦。若AB为焦点弦，|AB| = x₁+x₂+ p
• 方程：
  • 标准方程：y² = 2px (开口向右), y² = -2px (开口向左), x² = 2py (开口向上), x² = -2py (开口向下)

五、 直线与圆锥曲线的位置关系

• 基本方法：
  • 联立方程组：将直线方程与圆锥曲线方程联立，得到一个关于 x 或 y 的一元二次方程。
  • 判别式 Δ：
    • Δ > 0: 直线与圆锥曲线相交 (两个交点)
    • Δ = 0: 直线与圆锥曲线相切 (一个交点)
    • Δ < 0: 直线与圆锥曲线相离 (没有交点)
• 常用技巧：
  • 设而不求：设交点坐标，利用韦达定理简化计算。
  • 中点弦问题：设中点坐标，利用点差法求解。
  • 弦长公式：|AB| = √(1 + k²) √(Δ/a²) (直线斜率为k，Δ为判别式，a为二次项系数) 或 |AB| = √(1 + (1/k²)) √(Δ/a²)
• 特殊情况：
  • 直线斜率不存在时，直接代入圆锥曲线方程求解。
  • 直线过焦点时，可以利用圆锥曲线的定义简化计算。

六、 圆锥曲线的性质应用

• 求轨迹方程：
  • 直接法：根据定义或已知条件，直接列出方程。
  • 代入法：设动点坐标，找出动点与已知点的关系，代入已知点的坐标。
  • 参数法：选择适当的参数，将动点坐标表示成参数的函数。
  • 交轨法：求两个曲线交点的轨迹方程。
• 最值问题：
  • 几何意义：利用圆锥曲线的定义，将问题转化为求距离的最值。
  • 代数方法：利用函数思想，将问题转化为求函数的最值。
  • 不等式：利用均值不等式等不等式求最值。
• 对称问题：
  • 点关于直线对称：利用中点坐标和垂直关系求解。
  • 曲线关于直线对称：利用对称点的坐标关系求解。
• 定点、定值问题：
  • 设变量，找出不变的量。
  • 利用特殊值法先探路。

七、 常考题型

• 求圆锥曲线方程。
• 判断直线与圆锥曲线的位置关系。
• 求弦长、面积等几何量。
• 求轨迹方程。
• 求最值问题。
• 证明定点、定值问题。

八、 注意事项

• 注意分类讨论，特别是当直线斜率不存在或焦点位置不确定时。
• 注意利用圆锥曲线的定义，简化计算。
• 注意韦达定理的应用，简化计算。
• 注意数形结合，理解圆锥曲线的几何意义。
• 注意运算的准确性。
• 理解参数方程的含义和应用。
• 掌握点差法的应用。