圆锥曲线知识点总结思维导图

# 《圆锥曲线知识点总结思维导图》

**一、 概述**

*   **定义：** 满足特定几何条件的点的轨迹，可由平面截圆锥面得到。
*   **分类：**
    *   椭圆 (E): (x²/a²) + (y²/b²) = 1 (a>b>0)
    *   双曲线 (H): (x²/a²) - (y²/b²) = 1 (a>0, b>0)
    *   抛物线 (P): y² = 2px (p>0) 或 x² = 2py (p>0)
    *   圆 (C): (x-a)² + (y-b)² = r²  (可视为椭圆的特殊情况)

**二、 椭圆 (E): (x²/a²) + (y²/b²) = 1 (a>b>0)**

*   **基本要素：**
    *   焦点：F₁( -c, 0), F₂(c, 0) (c² = a² - b²)
    *   顶点：A₁( -a, 0), A₂(a, 0), B₁(0, -b), B₂(0, b)
    *   长轴：2a
    *   短轴：2b
    *   中心：(0, 0)
    *   焦距：2c
    *   离心率：e = c/a (0 < e < 1)
*   **性质：**
    *   定义：|PF₁| + |PF₂| = 2a (P为椭圆上任意一点)
    *   对称性：关于 x 轴，y 轴，原点对称。
    *   范围：-a ≤ x ≤ a, -b ≤ y ≤ b
    *   离心率与椭圆形状：e 越接近 0，椭圆越接近圆；e 越接近 1，椭圆越扁。
    *   第二定义：点P到定点F的距离与到定直线L的距离之比等于常数e (0<e<1)。L为准线，方程为x=±a²/c
    *   焦点弦：过焦点的弦。若AB为焦点弦，|AB| = 2a - e(x₁+x₂)
*   **方程：**
    *   标准方程：(x²/a²) + (y²/b²) = 1 (焦点在 x 轴) 或 (y²/a²) + (x²/b²) = 1 (焦点在 y 轴)
    *   参数方程：x = a cosθ, y = b sinθ (θ为参数)

**三、 双曲线 (H): (x²/a²) - (y²/b²) = 1 (a>0, b>0)**

*   **基本要素：**
    *   焦点：F₁( -c, 0), F₂(c, 0) (c² = a² + b²)
    *   顶点：A₁( -a, 0), A₂(a, 0)
    *   实轴：2a
    *   虚轴：2b
    *   中心：(0, 0)
    *   焦距：2c
    *   离心率：e = c/a (e > 1)
    *   渐近线：y = ±(b/a)x
*   **性质：**
    *   定义：||PF₁| - |PF₂|| = 2a (P为双曲线上任意一点)
    *   对称性：关于 x 轴，y 轴，原点对称。
    *   范围：|x| ≥ a
    *   离心率与双曲线形状：e 越大，双曲线开口越大；e 越接近 1，双曲线开口越小。
    *   第二定义：点P到定点F的距离与到定直线L的距离之比等于常数e (e>1)。L为准线，方程为x=±a²/c
    *   焦点弦：过焦点的弦。若AB为焦点弦，|AB| = e(x₁+x₂) - 2a
*   **方程：**
    *   标准方程：(x²/a²) - (y²/b²) = 1 (焦点在 x 轴) 或 (y²/a²) - (x²/b²) = 1 (焦点在 y 轴)
    *   渐近线方程：y = ±(b/a)x 或 ax ± by = 0

**四、 抛物线 (P): y² = 2px (p>0)**

*   **基本要素：**
    *   焦点：F(p/2, 0)
    *   顶点：(0, 0)
    *   准线：x = -p/2
    *   p：焦点到准线的距离
*   **性质：**
    *   定义：|PF| = d (P到焦点F的距离等于P到准线的距离，d为点到准线的距离)
    *   对称性：关于 x 轴对称。
    *   范围：x ≥ 0
    *   焦半径：|PF| = x₀ + p/2 (P(x₀, y₀)为抛物线上一点)
    *   焦点弦：过焦点的弦。若AB为焦点弦，|AB| = x₁+x₂+ p
*   **方程：**
    *   标准方程：y² = 2px (开口向右), y² = -2px (开口向左), x² = 2py (开口向上), x² = -2py (开口向下)

**五、 直线与圆锥曲线的位置关系**

*   **基本方法：**
    *   联立方程组：将直线方程与圆锥曲线方程联立，得到一个关于 x 或 y 的一元二次方程。
    *   判别式 Δ：
        *   Δ > 0: 直线与圆锥曲线相交 (两个交点)
        *   Δ = 0: 直线与圆锥曲线相切 (一个交点)
        *   Δ < 0: 直线与圆锥曲线相离 (没有交点)
*   **常用技巧：**
    *   设而不求：设交点坐标，利用韦达定理简化计算。
    *   中点弦问题：设中点坐标，利用点差法求解。
    *   弦长公式：|AB| = √(1 + k²) * √(Δ/a²)  (直线斜率为k，Δ为判别式，a为二次项系数) 或 |AB| = √(1 + (1/k²)) * √(Δ/a²)
*   **特殊情况：**
    *   直线斜率不存在时，直接代入圆锥曲线方程求解。
    *   直线过焦点时，可以利用圆锥曲线的定义简化计算。

**六、 圆锥曲线的性质应用**

*   **求轨迹方程：**
    *   直接法：根据定义或已知条件，直接列出方程。
    *   代入法：设动点坐标，找出动点与已知点的关系，代入已知点的坐标。
    *   参数法：选择适当的参数，将动点坐标表示成参数的函数。
    *   交轨法：求两个曲线交点的轨迹方程。
*   **最值问题：**
    *   几何意义：利用圆锥曲线的定义，将问题转化为求距离的最值。
    *   代数方法：利用函数思想，将问题转化为求函数的最值。
    *   不等式：利用均值不等式等不等式求最值。
*   **对称问题：**
    *   点关于直线对称：利用中点坐标和垂直关系求解。
    *   曲线关于直线对称：利用对称点的坐标关系求解。
*   **定点、定值问题：**
    *   设变量，找出不变的量。
    *   利用特殊值法先探路。

**七、 常考题型**

*   求圆锥曲线方程。
*   判断直线与圆锥曲线的位置关系。
*   求弦长、面积等几何量。
*   求轨迹方程。
*   求最值问题。
*   证明定点、定值问题。

**八、 注意事项**

*   注意分类讨论，特别是当直线斜率不存在或焦点位置不确定时。
*   注意利用圆锥曲线的定义，简化计算。
*   注意韦达定理的应用，简化计算。
*   注意数形结合，理解圆锥曲线的几何意义。
*   注意运算的准确性。
*   理解参数方程的含义和应用。
*   掌握点差法的应用。

# 《圆锥曲线知识点总结思维导图》 **一、概述** * **定义：** 满足特定几何条件的点的轨迹，可由平面截圆锥面得到。 * **分类：** * 椭圆 (E): (x²/a²) + (y²/b²) = 1 (a>b>0) * 双曲线 (H): (x²/a²) - (y²/b²) = 1 (a>0, b>0) * 抛物线 (P): y² = 2px (p>0) 或 x² = 2py (p>0) * 圆 (C): (x-a)² + (y-b)² = r² (可视为椭圆的特殊情况) **二、椭圆 (E): (x²/a²) + (y²/b²) = 1 (a>b>0)** * **基本要素：** * 焦点：F₁( -c, 0), F₂(c, 0) (c² = a² - b²) * 顶点：A₁( -a, 0), A₂(a, 0), B₁(0, -b), B₂(0, b) * 长轴：2a * 短轴：2b * 中心：(0, 0) * 焦距：2c * 离心率：e = c/a (0 < e < 1) * **性质：** * 定义：|PF₁| + |PF₂| = 2a (P为椭圆上任意一点) * 对称性：关于 x 轴，y 轴，原点对称。 * 范围：-a ≤ x ≤ a, -b ≤ y ≤ b * 离心率与椭圆形状：e 越接近 0，椭圆越接近圆；e 越接近 1，椭圆越扁。 * 第二定义：点P到定点F的距离与到定直线L的距离之比等于常数e (00, b>0)** * **基本要素：** * 焦点：F₁( -c, 0), F₂(c, 0) (c² = a² + b²) * 顶点：A₁( -a, 0), A₂(a, 0) * 实轴：2a * 虚轴：2b * 中心：(0, 0) * 焦距：2c * 离心率：e = c/a (e > 1) * 渐近线：y = ±(b/a)x * **性质：** * 定义：||PF₁| - |PF₂|| = 2a (P为双曲线上任意一点) * 对称性：关于 x 轴，y 轴，原点对称。 * 范围：|x| ≥ a * 离心率与双曲线形状：e 越大，双曲线开口越大；e 越接近 1，双曲线开口越小。 * 第二定义：点P到定点F的距离与到定直线L的距离之比等于常数e (e>1)。L为准线，方程为x=±a²/c * 焦点弦：过焦点的弦。若AB为焦点弦，|AB| = e(x₁+x₂) - 2a * **方程：** * 标准方程：(x²/a²) - (y²/b²) = 1 (焦点在 x 轴) 或 (y²/a²) - (x²/b²) = 1 (焦点在 y 轴) * 渐近线方程：y = ±(b/a)x 或 ax ± by = 0 **四、抛物线 (P): y² = 2px (p>0)** * **基本要素：** * 焦点：F(p/2, 0) * 顶点：(0, 0) * 准线：x = -p/2 * p：焦点到准线的距离 * **性质：** * 定义：|PF| = d (P到焦点F的距离等于P到准线的距离，d为点到准线的距离) * 对称性：关于 x 轴对称。 * 范围：x ≥ 0 * 焦半径：|PF| = x₀ + p/2 (P(x₀, y₀)为抛物线上一点) * 焦点弦：过焦点的弦。若AB为焦点弦，|AB| = x₁+x₂+ p * **方程：** * 标准方程：y² = 2px (开口向右), y² = -2px (开口向左), x² = 2py (开口向上), x² = -2py (开口向下) **五、直线与圆锥曲线的位置关系** * **基本方法：** * 联立方程组：将直线方程与圆锥曲线方程联立，得到一个关于 x 或 y 的一元二次方程。 * 判别式 Δ： * Δ > 0: 直线与圆锥曲线相交 (两个交点) * Δ = 0: 直线与圆锥曲线相切 (一个交点) * Δ < 0: 直线与圆锥曲线相离 (没有交点) * **常用技巧：** * 设而不求：设交点坐标，利用韦达定理简化计算。 * 中点弦问题：设中点坐标，利用点差法求解。 * 弦长公式：|AB| = √(1 + k²) * √(Δ/a²) (直线斜率为k，Δ为判别式，a为二次项系数) 或 |AB| = √(1 + (1/k²)) * √(Δ/a²) * **特殊情况：** * 直线斜率不存在时，直接代入圆锥曲线方程求解。 * 直线过焦点时，可以利用圆锥曲线的定义简化计算。 **六、圆锥曲线的性质应用** * **求轨迹方程：** * 直接法：根据定义或已知条件，直接列出方程。 * 代入法：设动点坐标，找出动点与已知点的关系，代入已知点的坐标。 * 参数法：选择适当的参数，将动点坐标表示成参数的函数。 * 交轨法：求两个曲线交点的轨迹方程。 * **最值问题：** * 几何意义：利用圆锥曲线的定义，将问题转化为求距离的最值。 * 代数方法：利用函数思想，将问题转化为求函数的最值。 * 不等式：利用均值不等式等不等式求最值。 * **对称问题：** * 点关于直线对称：利用中点坐标和垂直关系求解。 * 曲线关于直线对称：利用对称点的坐标关系求解。 * **定点、定值问题：** * 设变量，找出不变的量。 * 利用特殊值法先探路。 **七、常考题型** * 求圆锥曲线方程。 * 判断直线与圆锥曲线的位置关系。 * 求弦长、面积等几何量。 * 求轨迹方程。 * 求最值问题。 * 证明定点、定值问题。 **八、注意事项** * 注意分类讨论，特别是当直线斜率不存在或焦点位置不确定时。 * 注意利用圆锥曲线的定义，简化计算。 * 注意韦达定理的应用，简化计算。 * 注意数形结合，理解圆锥曲线的几何意义。 * 注意运算的准确性。 * 理解参数方程的含义和应用。 * 掌握点差法的应用。

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