《圆锥曲线思维导图》

一、总览

• 定义: 满足特定几何条件的点的轨迹。
• 分类:
  • 椭圆
  • 双曲线
  • 抛物线
  • 圆（特殊椭圆）

二、椭圆

• 定义: 到两个定点（焦点）的距离之和为常数（大于两焦点间距离）的点的轨迹。
  • 焦点: F1, F2
  • 焦距: 2c
  • 长轴: 2a
  • 短轴: 2b
  • 关系: a² = b² + c²
• 标准方程:
  • 焦点在x轴: x²/a² + y²/b² = 1 (a > b > 0)
  • 焦点在y轴: y²/a² + x²/b² = 1 (a > b > 0)
• 几何性质:
  • 范围: |x| ≤ a, |y| ≤ b
  • 对称性: 关于x轴, y轴, 原点对称
  • 顶点: (±a, 0), (0, ±b) 或 (0, ±a), (±b, 0)
  • 离心率: e = c/a (0 < e < 1), e越接近0，椭圆越接近圆
  • 准线方程：x = ±a²/c (焦点在x轴) 或 y = ±a²/c (焦点在y轴)
  • 焦点到椭圆上一点的距离：|PF1| = a + ex, |PF2| = a - ex (焦点在x轴，x为P的横坐标)
• 常用结论:
  • 椭圆上的点到两个焦点的距离之和为2a
  • 椭圆的焦半径公式
  • 弦长公式
  • 点斜式直线与椭圆联立的判别式
• 解题策略:
  • 定义法：根据定义直接求解。
  • 方程法：设点坐标，列方程求解。
  • 数形结合法：利用图像辅助解题。
  • 参数方程法：x = acosθ, y = bsinθ

三、双曲线

• 定义: 到两个定点（焦点）的距离之差的绝对值为常数（小于两焦点间距离）的点的轨迹。
  • 焦点: F1, F2
  • 焦距: 2c
  • 实轴: 2a
  • 虚轴: 2b
  • 关系: c² = a² + b²
• 标准方程:
  • 焦点在x轴: x²/a² - y²/b² = 1 (a > 0, b > 0)
  • 焦点在y轴: y²/a² - x²/b² = 1 (a > 0, b > 0)
• 几何性质:
  • 范围: |x| ≥ a (焦点在x轴), |y| ≥ a (焦点在y轴)
  • 对称性: 关于x轴, y轴, 原点对称
  • 顶点: (±a, 0), (0, ±a)
  • 离心率: e = c/a (e > 1), e越大，双曲线越接近两条直线
  • 渐近线方程：y = ±(b/a)x (焦点在x轴) 或 y = ±(a/b)x (焦点在y轴)
  • 准线方程：x = ±a²/c (焦点在x轴) 或 y = ±a²/c (焦点在y轴)
• 常用结论:
  • 双曲线上的点到两个焦点的距离之差的绝对值为2a
  • 双曲线的焦半径公式
  • 弦长公式
  • 点斜式直线与双曲线联立的判别式
  • 等轴双曲线: a = b, x² - y² = a²
• 解题策略:
  • 定义法：根据定义直接求解。
  • 方程法：设点坐标，列方程求解。
  • 数形结合法：利用图像辅助解题。

四、抛物线

• 定义: 到一个定点（焦点）的距离等于到一条定直线（准线）的距离的点的轨迹。
  • 焦点: F
  • 准线: l
  • p: 焦点到准线的距离
• 标准方程:
  • y² = 2px (p > 0): 开口向右
  • y² = -2px (p > 0): 开口向左
  • x² = 2py (p > 0): 开口向上
  • x² = -2py (p > 0): 开口向下
• 几何性质: (以y² = 2px为例)
  • 范围: x ≥ 0
  • 对称性: 关于x轴对称
  • 顶点: (0, 0)
  • 焦点: (p/2, 0)
  • 准线: x = -p/2
  • 离心率: e = 1
• 常用结论:
  • 焦半径: |PF| = x + p/2 (x为P的横坐标)
  • 弦长公式
  • 焦点弦长公式
  • 点斜式直线与抛物线联立的判别式
• 解题策略:
  • 定义法：根据定义直接求解。
  • 方程法：设点坐标，列方程求解。
  • 数形结合法：利用图像辅助解题。

五、通用解题方法

• 联立方程组: 将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程。
  • 判别式: Δ > 0 (有两个交点), Δ = 0 (有一个交点，相切), Δ < 0 (没有交点)
  • 韦达定理: x1 + x2 = -b/a, x1 * x2 = c/a (应用于求弦长，中点坐标等问题)
• 设而不求: 设交点坐标，利用韦达定理，整体代入。
• 中点弦问题:
  • 设中点坐标为(x0, y0)
  • 点差法：将圆锥曲线上两点代入方程，然后相减，再结合中点坐标公式求解。
• 弦长公式: |AB| = √(1 + k²) * √(Δ) / |a| (k为直线斜率, Δ为判别式, a为一元二次方程的二次项系数)
• 参数法: 选择合适的参数，简化计算。
• 几何性质的运用: 灵活运用圆锥曲线的几何性质，如焦点性质，准线性质，离心率等，可以简化解题过程。

六、圆

• 定义: 平面上到定点距离等于定长的点的集合。
• 标准方程: (x - a)² + (y - b)² = r² (圆心为(a, b), 半径为r)
• 一般方程: x² + y² + Dx + Ey + F = 0 (D² + E² - 4F > 0)
  • 圆心: (-D/2, -E/2)
  • 半径: √(D² + E² - 4F) / 2

七、注意事项

• 注意各种圆锥曲线的定义和性质的灵活运用。
• 注意计算的准确性，避免出现计算错误。
• 多做练习，熟练掌握各种解题方法。
• 注意数形结合，利用图像辅助解题。
• 注意特殊情况的讨论，例如直线斜率不存在的情况。
• 深刻理解圆锥曲线之间的联系与区别，例如圆是椭圆的特殊情况。