《数学第三单元思维导图》
一、 单元概述
1.1 单元名称
第三单元：乘法
1.2 单元目标
掌握两位数乘两位数、三位数乘两位数的笔算方法，理解算理；能够进行估算，并运用乘法解决实际问题，培养数感和解决问题的能力。
1.3 单元重点
两位数乘两位数的笔算；三位数乘两位数的笔算；积的变化规律；估算。
1.4 单元难点
理解笔算乘法的算理，特别是进位的处理；灵活运用积的变化规律解决问题。
二、 知识点详解
2.1 两位数乘两位数
2.1.1 口算
- 2.1.1.1 整十数乘整十数： 例如：20×30，利用2×3=6，再在后面添两个0，结果为600。
- 2.1.1.2 两位数乘整十数： 例如：12×30，利用12×3=36，再在后面添一个0，结果为360。
- 2.1.1.3 拆分法： 将其中一个两位数拆分成整十数加个位数，例如：15×12 = 15×(10+2) = 15×10 + 15×2 = 150 + 30 = 180。
2.1.2 估算
- 2.1.2.1 估算方法： 将两个因数都看作与它们接近的整十数进行估算，例如：28×31 ≈ 30×30 = 900。
- 2.1.2.2 估算应用： 判断计算结果的范围，解决实际问题。
2.1.3 笔算
- 2.1.3.1 笔算步骤：
- 第一步：用第二个因数的个位去乘第一个因数，所得的积的末位和第一个因数的个位对齐。
- 第二步：用第二个因数的十位去乘第一个因数，所得的积的末位和第一个因数的十位对齐。
- 第三步：将两次乘得的积相加。
- 2.1.3.2 进位处理： 注意每次乘法中的进位，及时加到相应的位数上。
- 2.1.3.3 竖式书写规范： 数位对齐，书写清晰。
2.2 三位数乘两位数
2.2.1 口算
- 2.2.1.1 拆分法： 将三位数拆分成整百数、整十数和个位数之和，例如：123×20 = (100+20+3)×20 = 100×20 + 20×20 + 3×20 = 2000 + 400 + 60 = 2460。
2.2.2 估算
- 2.2.2.1 估算方法： 将两个因数都看作与它们接近的整百数或整十数进行估算，例如：198×32 ≈ 200×30 = 6000。
2.2.3 笔算
- 2.2.3.1 笔算步骤： 与两位数乘两位数的笔算步骤类似，只是第一个因数是三位数。
- 第一步：用第二个因数的个位去乘第一个因数，所得的积的末位和第一个因数的个位对齐。
- 第二步：用第二个因数的十位去乘第一个因数，所得的积的末位和第一个因数的十位对齐。
- 第三步：将两次乘得的积相加。
- 2.2.3.2 进位处理： 注意每次乘法中的进位，及时加到相应的位数上。
- 2.2.3.3 竖式书写规范： 数位对齐，书写清晰。
2.3 积的变化规律
2.3.1 规律一
一个因数不变，另一个因数乘几，积也乘几。例如： 12 × 5 = 60， 12 × (5 × 2) = 12 × 10 = 120 (积也乘了2)。
2.3.2 规律二
一个因数不变，另一个因数除以几，积也除以几。 例如： 24 × 5 = 120， 24 × (5 ÷ 2) = 24 × 2.5 = 60 (积也除以了2)。
2.3.3 规律三
一个因数乘几，另一个因数除以几，积不变。 例如： 15 × 8 = 120， (15 × 2) × (8 ÷ 2) = 30 × 4 = 120 (积不变)。
2.3.4 规律应用
- 2.3.4.1 简便计算： 利用积的变化规律进行简便计算。
- 2.3.4.2 解决实际问题： 根据已知的乘法算式，快速计算相关的乘法算式。
2.4 解决问题
2.4.1 数量关系
- 2.4.1.1 单价 × 数量 = 总价
- 2.4.1.2 速度 × 时间 = 路程
2.4.2 解题步骤
- 2.4.2.1 分析题意： 理解题目的问题和已知条件。
- 2.4.2.2 确定数量关系： 找出题目中的数量关系。
- 2.4.2.3 列式计算： 根据数量关系列出算式并进行计算。
- 2.4.2.4 检验并作答： 检验计算结果是否合理，并写出答案。
2.4.3 策略多样
- 2.4.3.1 画图分析： 通过画图帮助理解题意。
- 2.4.3.2 列表格整理： 通过列表格整理信息。
- 2.4.3.3 假设法： 尝试不同的可能性来解决问题。
三、 易错点提醒
3.1 笔算乘法
- 3.1.1 忘记进位： 特别是在连续进位的情况下，容易忘记进位。
- 3.1.2 数位未对齐： 尤其是三位数乘两位数的计算，容易将第二次乘得的积的末位与个位对齐。
- 3.1.3 横式未写结果： 完成竖式计算后，忘记将结果写在横式上。
3.2 积的变化规律
- 3.2.1 混淆乘除： 误将乘法规律用于除法，或将除法规律用于乘法。
- 3.2.2 不理解本质： 未真正理解积的变化是因数变化的直接影响。
3.3 解决问题
- 3.3.1 审题不清： 未认真阅读题目，导致理解错误。
- 3.3.2 数量关系错误： 错误地运用数量关系，导致列式错误。
- 3.3.3 单位不统一： 题目中单位不统一时，未进行统一。
四、 练习与拓展
4.1 基础练习
- 两位数乘两位数、三位数乘两位数的笔算练习。
- 积的变化规律的应用练习。
- 解决简单的乘法问题。
4.2 拓展练习
- 比较复杂的乘法应用题。
- 结合其他知识点的综合应用题。
- 探索性的乘法问题。
4.3 课外阅读
- 查阅关于乘法历史的资料。
- 了解乘法在生活中的应用。
五、 单元总结
5.1 知识回顾
梳理本单元所学的知识点，巩固所学知识。
5.2 技能提升
通过练习，提高计算能力和解决问题的能力。
5.3 数学思想
体会乘法在数学中的重要性，培养数感和逻辑思维能力。