数学必修一第二章思维导图
《数学必修一第二章思维导图》
1. 函数概念与基本初等函数(I)
1.1 函数的概念
- 定义: 非空集合A到非空集合B的对应关系f:A→B
- 定义域: 集合A (记作D)
- 值域: 集合{f(x) | x∈A}，是B的子集 (记作C)
- 对应法则: f (核心，决定函数本质)
- 表示法:
- 解析法: 用数学表达式表示
- 优点：简明、精确，易于计算
- 缺点：适用范围有限，需有明确的函数关系
- 图像法: 用图像表示
- 优点：直观，形象，能清晰地展现函数的变化趋势
- 缺点：难以精确表示函数值
- 列表法: 用表格表示
- 优点：直观，易于查阅对应关系
- 缺点：难以表示定义域和值域中的所有元素
- 函数的性质：
- 定义域、值域
- 单调性:
- 定义: 在某个区间内，函数值随自变量增大而增大（或减小）
- 增函数：x1<x2 => f(x1)<f(x2)
- 减函数：x1<x2 => f(x1)>f(x2)
- 判断方法：定义法，导数法(高中阶段不常用)
- 奇偶性:
- 偶函数: f(-x) = f(x) (关于y轴对称)
- 奇函数: f(-x) = -f(x) (关于原点对称)
- 判断方法：定义法
- 周期性:
- 定义: 存在常数T，使得f(x+T) = f(x)
- T为周期
1.2 函数的表示法
- 解析法: (见1.1)
- 图像法: (见1.1)
- 列表法: (见1.1)
- 分段函数:
- 定义：在定义域的不同部分，用不同的解析式表示的函数。
- 特点：分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。
- 注意：计算分段函数的值，要先确定自变量属于哪个区间。
- 映射:
- 定义: 非空集合A到非空集合B的对应关系，要求A中任何元素都有唯一对应，B中元素不要求都有原象。
- 函数是特殊的映射 (单值对应)。
1.3 函数的基本性质
- 单调性: (见1.1)
- 奇偶性: (见1.1)
- 周期性: (见1.1)
- 对称性:
- 关于直线x=a对称: f(a+x)=f(a-x)
- 关于点(a,0)对称: f(a+x) + f(a-x) = 0
2. 基本初等函数(I)
2.1 指数函数
- 定义: y = a^x (a>0且a≠1)
- 图像:
- a>1时，单调递增
- 0<a<1时，单调递减
- 恒过点(0,1)
- 性质:
- 定义域: R
- 值域: (0, +∞)
- 当x>0时，a^x > 1 (a>1)； a^x < 1 (0<a<1)
- 当x<0时，a^x < 1 (a>1)； a^x > 1 (0<a<1)
- 指数运算:
- a^m * a^n = a^(m+n)
- a^m / a^n = a^(m-n)
- (a^m)^n = a^(m*n)
- (ab)^n = a^n b^n
- a^(-n) = 1/a^n
- a^(m/n) = (n√a)^m
2.2 对数函数
- 定义: y = log_a(x) (a>0且a≠1, x>0)
- 图像:
- a>1时，单调递增
- 0<a<1时，单调递减
- 恒过点(1,0)
- 性质:
- 定义域: (0, +∞)
- 值域: R
- 当x>1时，log_a(x) > 0 (a>1)； log_a(x) < 0 (0<a<1)
- 当0<x<1时，log_a(x) < 0 (a>1)； log_a(x) > 0 (0<a<1)
- 对数运算:
- log_a(a) = 1
- log_a(1) = 0
- log_a(M*N) = log_a(M) + log_a(N)
- log_a(M/N) = log_a(M) - log_a(N)
- log_a(M^n) = n*log_a(M)
- 换底公式: log_a(b) = log_c(b) / log_c(a)
- 自然对数: ln(x) = log_e(x) (e ≈ 2.71828)
- 常用对数: lg(x) = log_10(x)
2.3 幂函数
- 定义: y = x^α (α为实数)
- 常见幂函数的图像和性质:
- y = x：直线，过(0,0), (1,1)
- y = x^2：抛物线，偶函数，过(0,0), (1,1)
- y = x^3：过(0,0), (1,1)，奇函数
- y = x^(1/2)：定义域[0, +∞)，过(0,0), (1,1)，单调递增
- y = x^(-1)：双曲线，奇函数，定义域x≠0
- 性质:
- 与α的值有关，决定了函数的定义域、值域、奇偶性、单调性等。
- 当α>0时，图像过(0,0) (如果0在定义域内) 和 (1,1)
- 当α<0时，图像不过(0,0)
- 需要根据具体α的值分析。
3. 函数的应用
3.1 函数与方程
- 函数零点:
- 定义: 使f(x) = 0的x值
- 几何意义: 函数y=f(x)的图像与x轴的交点的横坐标。
- 零点存在性定理:
- 若f(a) * f(b) < 0，且函数y=f(x)在[a,b]上连续，则在(a,b)内至少存在一个零点。
- 二分法求方程的近似解:
- 步骤：确定区间[a, b]，验证f(a)f(b)<0；求区间(a, b)的中点c；计算f(c)；若f(c)=0，则c就是函数的零点；若f(a)f(c)<0，则令b=c，否则令a=c；重复上述步骤，直到区间长度足够小。
3.2 函数模型及其应用
- 常见函数模型:
- 一次函数: y = ax + b
- 二次函数: y = ax^2 + bx + c
- 指数函数: y = a^x
- 对数函数: y = log_a(x)
- 幂函数: y = x^α
- 解决实际问题的步骤:
- 审题，理解题意
- 建立数学模型 (选择合适的函数)
- 求解数学模型 (解方程，不等式等)
- 回归实际问题，给出结论
4. 总结
- 重点: 函数的概念与表示，指数函数和对数函数的性质，函数零点。
- 难点: 函数模型的建立，抽象函数的理解和应用。
- 关键: 掌握基本概念和性质，熟练运用基本运算，培养数形结合的思想。
- 易错点: 指数函数和对数函数的底数范围，对数运算的条件限制，忽略定义域。
