《整式的加减思维导图》

一、 概念基础

1.1 单项式

• 定义: 数与字母的乘积，单独一个数或字母也算单项式。
  • 例子： 3x, -5, a, xy²
• 系数: 单项式中的数字因数（包括符号）。
  • 例子： 3x的系数是3， -5的系数是-5
• 次数: 单项式中所有字母的指数的和。
  • 例子： xy²的次数是1+2=3

1.2 多项式

• 定义: 几个单项式的和。
  • 例子： x² + 2x - 1, ab + bc + ca
• 项: 多项式中的每个单项式。
  • 例子： x² + 2x - 1的项是x², 2x, -1
• 常数项: 不含字母的项。
  • 例子： x² + 2x - 1的常数项是-1
• 次数: 多项式中次数最高的项的次数。
  • 例子： x² + 2x - 1的次数是2

1.3 整式

• 定义: 单项式和多项式统称为整式。
  • 包含关系： 单项式 ⊆ 整式； 多项式 ⊆ 整式
• 注意: 分母中含字母的式子不是整式。
  • 例子： 1/x 不是整式

1.4 同类项

• 定义: 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。
  • 判定依据： “两相同”：所含字母相同，相同字母的指数相同。
  • 例子： 3x²y 和 -5x²y 是同类项， 2x²y 和 2xy² 不是同类项
• 与系数无关: 同类项与系数无关。
• 与字母顺序无关: 同类项与字母顺序无关。
  • 例子： 3xy² 和 3y²x 是同类项

二、 运算规则

2.1 合并同类项

• 法则: 把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。
  • 步骤： 1. 找出同类项； 2. 系数相加； 3. 字母和字母的指数不变。
  • 例子： 3x²y - 5x²y = (3-5)x²y = -2x²y
• 本质: 乘法分配律的逆用。
• 目的: 简化多项式。

2.2 去括号

• 法则:
  • 括号前面是“+”号，去掉括号和它前面的“+”号，括号里的各项都不改变符号。
    • 例子： +(a + b - c) = a + b - c
  • 括号前面是“–”号，去掉括号和它前面的“–”号，括号里的各项都改变符号。
    • 例子： -(a + b - c) = -a - b + c
• 本质: 乘法分配律。
• 注意: 括号前的数字或符号要连同括号一起去掉。

2.3 整式的加减

• 步骤:
  1. 去括号 (遵循去括号法则)。
  2. 合并同类项 (遵循合并同类项法则)。
• 实质: 合并同类项。
• 结果: 必须是最简形式（即合并后不再有同类项）。

三、 运算应用

3.1 化简求值

• 步骤:
  1. 先化简整式 (运用去括号和合并同类项)。
  2. 再代入求值 (将已知数值代入化简后的整式)。
• 注意: 注意代入时负数的符号， 以及运算顺序。

3.2 实际问题

• 列式表达: 根据题意列出代数式。
• 化简计算: 对代数式进行化简和计算。
• 结果分析: 对结果进行实际意义的分析。

四、 注意事项

• 符号问题: 注意去括号时括号前符号的影响，以及合并同类项时系数的符号。
• 书写规范: 结果要化简到最简形式，并按照习惯的顺序排列（通常按字母的升幂或降幂排列）。
• 整体思想: 在化简求值时，有时可以把某些代数式看作一个整体，先求出整体的值，再代入。
• 灵活运用: 灵活运用加法交换律、结合律简化运算。
• 易错点: 去括号忘记变号，合并同类项时字母和字母指数改变。

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