高一必修一数学思维导图

# 《高一必修一数学思维导图》

## 第一章：集合 (Sets)

### 1.1 集合的基本概念 (Basic Concepts of Sets)

*   **集合定义:** 具有某种特定性质的、确定的、不同的事物的**整体**。
*   **元素:** 集合中的每个事物。
*   **集合的特性:**
    *   **确定性 (Determinacy):** 给定一个元素，必须能明确判断它是否属于该集合。
    *   **互异性 (Distinctness):** 集合中的元素必须是不同的。
    *   **无序性 (Unordered):** 集合中的元素排列没有顺序。
*   **元素与集合的关系:**
    *   **属于 (Belongs to):** `a ∈ A` (元素 a 属于集合 A)
    *   **不属于 (Does not belong to):** `a ∉ A` (元素 a 不属于集合 A)
*   **集合的表示方法:**
    *   **列举法 (Roster Method):** 将元素一一列出，用花括号 `{}` 括起来，元素间用逗号 `,` 隔开。例：`{1, 2, 3}`
    *   **描述法 (Set-Builder Notation):** 用文字或符号描述集合元素的共同特征。例：`{x | x 是大于 2 的偶数}` 或 `{x ∈ R | x > 2}`
    *   **图示法 (Venn Diagram):** 用平面上的封闭曲线（通常是圆形或矩形）表示集合。
*   **常用数集:**
    *   **自然数集 (Natural Numbers):** `N = {0, 1, 2, ...}` (或 `N = {1, 2, 3, ...}`，根据教材定义)
    *   **正整数集 (Positive Integers):** `N*` 或 `N+ = {1, 2, 3, ...}`
    *   **整数集 (Integers):** `Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}`
    *   **有理数集 (Rational Numbers):** `Q = {p/q | p ∈ Z, q ∈ N*, p 与 q 互质}`
    *   **实数集 (Real Numbers):** `R` (包含所有有理数和无理数)

### 1.2 集合间的基本关系 (Basic Relationships Between Sets)

*   **子集 (Subset):** `A ⊆ B` (集合 A 中的**任意**一个元素都属于集合 B)。
    *   任何一个集合是其本身的子集：`A ⊆ A`
    *   空集是任何集合的子集：`Ø ⊆ A`
    *   传递性：若 `A ⊆ B` 且 `B ⊆ C`，则 `A ⊆ C`
*   **真子集 (Proper Subset):** `A ⊂ B` (A 是 B 的子集，且 B 中**至少存在一个元素**不属于 A)。
    *   若 `A ⊂ B`，则 `A ⊆ B`。
    *   若 `A ⊆ B` 且 `A ≠ B`，则 `A ⊂ B`。
    *   空集是任何非空集合的真子集。
*   **空集 (Empty Set):** `Ø` 或 `{}` (不含任何元素的集合)。
*   **全集 (Universal Set):** `U` (包含了所研究问题中涉及的所有元素的集合)。
*   **集合相等 (Set Equality):** `A = B` (当且仅当 `A ⊆ B` 且 `B ⊆ A`)。

### 1.3 集合的基本运算 (Basic Set Operations)

* **交集 (Intersection):** `A ∩ B = {x | x ∈ A 且 x ∈ B}` (属于 A **且**属于 B 的所有元素组成的集合)。
 * `A ∩ A = A`
 * `A ∩ Ø = Ø`
 * `A ∩ B = B ∩ A` (交换律)
 * `(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)` (结合律)
 * `A ∩ B ⊆ A`, `A ∩ B ⊆ B`
* **并集 (Union):** `A ∪ B = {x | x ∈ A 或 x ∈ B}` (属于 A **或**属于 B 的所有元素组成的集合)。
 * `A ∪ A = A`
 * `A ∪ Ø = A`
 * `A ∪ B = B ∪ A` (交换律)
 * `(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)` (结合律)
 * `A ⊆ A ∪ B`, `B ⊆ A ∪ B`
* **补集 (Complement):** `CUA = {x | x ∈ U 且 x ∉ A}` (在全集 U 中，不属于 A 的所有元素组成的集合)。
 * `CUU = Ø`
 * `CUØ = U`
 * `CU(CUA) = A` (对合律)
 * **德摩根定律 (De Morgan's Laws):**
 * `CU(A ∩ B) = (CUA) ∪ (CUB)`
 * `CU(A ∪ B) = (CUA) ∩ (CUB)`
* **运算性质:**
 * **分配律:**
 * `A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)`
 * `A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)`
* **集合元素个数 (基数) 的关系 (有限集):**
 * `card(A ∪ B) = card(A) + card(B) - card(A ∩ B)`
 * `card(CUA) = card(U) - card(A)`

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## 第二章：函数 (Functions)

### 2.1 函数的概念 (Concept of Functions)

*   **函数定义:** 设 A, B 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系 `f`，使对于集合 A 中的**任意一个数** `x`，在集合 B 中都有**唯一确定**的数 `y` 和它对应，那么就称 `f: A → B` 为从集合 A 到集合 B 的一个函数。
*   **记法:** `y = f(x)`, `x ∈ A`
*   **三要素:**
    *   **定义域 (Domain):** 自变量 `x` 的取值范围，集合 A。 (使函数表达式有意义；实际问题有意义)
        *   求法：分式分母不为0；偶次根式被开方数非负；对数真数大于0，底数大于0且不为1；`tan(x)` 中 `x ≠ kπ + π/2`；零次幂底数不为0；实际问题约束。
    *   **值域 (Range):** 函数值 `y` 的取值范围，集合 `{y | y = f(x), x ∈ A}`。 (是集合 B 的子集)
        *   求法：观察法、配方法、换元法、单调性法、图像法、不等式法、导数法 (高阶)。
    *   **对应关系 (Correspondence Rule):** `f`，即如何从 `x` 得到 `y`。
*   **函数相等的判定:** 定义域相同 **且** 对应关系相同。
*   **映射 (Mapping):** 集合 A 到集合 B 的一种对应关系，满足 A 中**任意**元素在 B 中有**唯一**的像。函数是特殊的映射 (A, B 均为非空数集)。

### 2.2 函数的表示法 (Representations of Functions)

*   **解析法 (Analytical Method):** 用数学表达式表示函数关系。例：`y = 2x + 1`
*   **列表法 (Tabular Method):** 通过表格列出 `x` 与 `y` 的对应值。
*   **图像法 (Graphical Method):** 在坐标系中用图形表示函数关系 (函数图像)。
    *   函数图像与垂直于 x 轴的直线最多只有一个交点。
*   **分段函数 (Piecewise Function):** 在定义域的不同部分，有不同的对应关系。处理时需“分段讨论”。

### 2.3 函数的基本性质 (Basic Properties of Functions)

* **单调性 (Monotonicity):**
 * **增函数 (Increasing Function):** 在区间 `D` 上，若对任意 `x₁, x₂ ∈ D` 且 `x₁ < x₂`，都有 `f(x₁) < f(x₂)`。
 * **减函数 (Decreasing Function):** 在区间 `D` 上，若对任意 `x₁, x₂ ∈ D` 且 `x₁ < x₂`，都有 `f(x₁) > f(x₂)`。
 * **单调区间:** 函数具有单调性的区间。 (注意：单调区间不能用 `∪` 连接)
 * **证明方法:** 定义法 (作差/作商变形判断符号)、图像法、导数法 (高阶)。
* **奇偶性 (Parity):**
 * **前提:** 定义域关于原点对称。
 * **偶函数 (Even Function):** 对定义域内任意 `x`，都有 `f(-x) = f(x)`。图像关于 **y 轴** 对称。
 * **奇函数 (Odd Function):** 对定义域内任意 `x`，都有 `f(-x) = -f(x)`。图像关于 **原点** 对称。
 * **判定方法:** 定义法、图像法。
 * **性质:** 若奇函数在 `x=0` 处有定义，则 `f(0) = 0`。
* **最大值/最小值 (Maximum/Minimum Value):**
 * **最大值 M:** 若存在 `x₀` 使得对任意 `x`，都有 `f(x) ≤ f(x₀) = M`。
 * **最小值 m:** 若存在 `x₀` 使得对任意 `x`，都有 `f(x) ≥ f(x₀) = m`。
 * **最值:** 函数的最大值和最小值统称。可能在区间端点或单调性改变点取到。
 * 与值域的关系：值域是 `[m, M]` 或 `[m, +∞)` 或 `(-∞, M]` 等。

### 2.4 函数图像变换 (Transformations of Function Graphs)

* 设原函数为 `y = f(x)`：
 * **平移 (Translation):**
 * `y = f(x) + k`: 上移 `k` (`k>0`) / 下移 `|k|` (`k<0`)
 * `y = f(x + h)`: 左移 `h` (`h>0`) / 右移 `|h|` (`h<0`) (左加右减)
 * **对称 (Reflection):**
 * `y = -f(x)`: 关于 **x 轴** 对称
 * `y = f(-x)`: 关于 **y 轴** 对称
 * `y = -f(-x)`: 关于 **原点** 对称
 * **伸缩 (Stretching/Compression):**
 * `y = af(x)` (`a>0`): 纵坐标变为原来的 `a` 倍 ( `a>1` 伸长, `0<a<1` 压缩)
 * `y = f(bx)` (`b>0`): 横坐标变为原来的 `1/b` 倍 ( `b>1` 压缩, `0<b<1` 伸长)
 * **含绝对值的变换:**
 * `y = |f(x)|`: 保留 x 轴上方图像，将 x 轴下方图像翻折到 x 轴上方。
 * `y = f(|x|)`: 保留 y 轴右侧图像，擦去 y 轴左侧图像，将 y 轴右侧图像翻折到 y 轴左侧 (得到偶函数图像)。

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## 第三章：基本初等函数 (I) (Basic Elementary Functions I)

### 3.1 指数函数 (Exponential Functions)

* **定义:** `y = aˣ` (其中 `a > 0` 且 `a ≠ 1`)
* **图像与性质:**
 * **定义域:** `R`
 * **值域:** `(0, +∞)`
 * **过定点:** `(0, 1)`
 * **单调性:**
 * 当 `a > 1` 时，在 `R` 上是**增函数**。
 * 当 `0 < a < 1` 时，在 `R` 上是**减函数**。
 * **图像位置:** 恒在 x 轴上方。
* **运算性质 (指数幂):**
 * `aᵐ ⋅ aⁿ = aᵐ⁺ⁿ`
 * `(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ`
 * `(ab)ⁿ = aⁿbⁿ`
 * `a⁰ = 1` (`a ≠ 0`)
 * `a⁻ⁿ = 1/aⁿ` (`a ≠ 0`)
 * `a^(m/n) = ⁿ√aᵐ` (`a > 0`, `m, n ∈ N*`, `n > 1`)

### 3.2 对数函数 (Logarithmic Functions)

* **对数定义:** 如果 `aˣ = N` (`a > 0`, `a ≠ 1`, `N > 0`)，那么数 `x` 叫做以 `a` 为底 `N` 的对数，记作 `x = logₐN`。
 * `a`: 底数 (base)
 * `N`: 真数 (argument)
 * `x`: 对数 (logarithm)
* **对数恒等式:** `a^(logₐN) = N` (`a > 0`, `a ≠ 1`, `N > 0`)
* `logₐa = 1`
* `logₐ1 = 0`
* **常用对数 (Common Logarithm):** 以 10 为底，记作 `lg N`。
* **自然对数 (Natural Logarithm):** 以 `e` (≈ 2.71828...) 为底，记作 `ln N`。
* **对数函数定义:** `y = logₐx` (其中 `a > 0` 且 `a ≠ 1`)
* **图像与性质:**
 * **定义域:** `(0, +∞)`
 * **值域:** `R`
 * **过定点:** `(1, 0)`
 * **单调性:**
 * 当 `a > 1` 时，在 `(0, +∞)` 上是**增函数**。
 * 当 `0 < a < 1` 时，在 `(0, +∞)` 上是**减函数**。
* **运算性质:** (`M > 0`, `N > 0`, `a > 0`, `a ≠ 1`, `b > 0`, `b ≠ 1`, `n ∈ R`)
 * `logₐ(MN) = logₐM + logₐN`
 * `logₐ(M/N) = logₐM - logₐN`
 * `logₐ(Mⁿ) = n logₐM`
 * **换底公式 (Change-of-Base Formula):** `logₐb = (log<0xE1><0xB5><0x84>b) / (log<0xE1><0xB5><0x84>a)` (c > 0, c ≠ 1)
 * 推论: `logₐb ⋅ log<0xE2><0x82><0x98>a = 1`
 * 推论: `log_(aⁿ) bᵐ = (m/n) logₐb`

### 3.3 指数函数与对数函数的关系 (Relationship between Exp & Log Functions)

*   函数 `y = aˣ` (`a>0, a≠1`) 与 `y = logₐx` (`a>0, a≠1`) **互为反函数 (Inverse Functions)**。
*   **图像关系:** 它们的图像关于直线 `y = x` 对称。
*   **定义域与值域互换:** 指数函数的定义域是 `R`，值域是 `(0, +∞)`；对数函数的定义域是 `(0, +∞)`，值域是 `R`。

### 3.4 幂函数 (Power Functions)

* **定义:** `y = xᵅ` (其中 `α` 是常数)。
* **常见幂函数的图像与性质 (α = 1, 2, 3, 1/2, -1):**
 * `y = x` (α=1): 直线，过原点，定义域 R，值域 R，奇函数，增函数。
 * `y = x²` (α=2): 抛物线，顶点(0,0)，开口向上，定义域 R，值域 `[0, +∞)`，偶函数，在 `(-∞, 0]` 减，在 `[0, +∞)` 增。
 * `y = x³` (α=3): 立方曲线，过原点，定义域 R，值域 R，奇函数，增函数。
 * `y = x^(1/2)` (α=1/2): `y = √x`，定义域 `[0, +∞)`，值域 `[0, +∞)`，非奇非偶，增函数。
 * `y = x⁻¹` (α=-1): `y = 1/x`，双曲线，关于原点对称，定义域 `{x | x ≠ 0}`，值域 `{y | y ≠ 0}`，奇函数，在 `(-∞, 0)` 和 `(0, +∞)` 上均是减函数。
* **共性:**
 * 当 `α > 0` 时，图像都过点 `(1, 1)`，在 `(0, +∞)` 上是增函数 (部分)。
 * 当 `α < 0` 时，图像都过点 `(1, 1)`，在 `(0, +∞)` 上是减函数，且与坐标轴无限接近但不相交。
 * 定义域和值域随 `α` 的不同而不同。
 * 奇偶性取决于 `α` (整数次幂看奇偶，分数次幂看定义域)。

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## 第四章：函数与方程 (Functions and Equations) (或 函数应用)

### 4.1 函数的零点 (Zeros of a Function)

* **定义:** 对于函数 `y = f(x)`，使 `f(x) = 0` 的实数 `x` 叫做函数 `y = f(x)` 的零点。
* **等价关系:**
 * 方程 `f(x) = 0` 有实数根
 * ⇔ 函数 `y = f(x)` 的图像与 x 轴有交点
 * ⇔ 函数 `y = f(x)` 有零点
* **零点存在性定理 (Zero Existence Theorem):** 如果函数 `y = f(x)` 在区间 `[a, b]` 上的图像是连续不断的一条曲线，并且有 `f(a) ⋅ f(b) < 0`，那么函数 `y = f(x)` 在区间 `(a, b)` 内**至少**有一个零点。 (注意：`f(a) ⋅ f(b) > 0` 不能判断无零点)
* **二分法 (Bisection Method):** 求函数零点近似值的方法。
 * **前提:** 函数在 `[a, b]` 连续，且 `f(a) ⋅ f(b) < 0`。
 * **步骤:**
 1. 确定区间 `[a, b]`，验证 `f(a) ⋅ f(b) < 0`，给定精度 `ε`。
 2. 求区间中点 `m = (a + b) / 2`。
 3. 计算 `f(m)`。
 4. 若 `f(m) = 0`，则 `m` 是零点，结束。
 5. 若 `f(a) ⋅ f(m) < 0`，则零点在 `(a, m)` 内，令 `b = m`。
 6. 若 `f(m) ⋅ f(b) < 0`，则零点在 `(m, b)` 内，令 `a = m`。
 7. 判断是否达到精度 `ε` (即 `|a - b| < ε`)。若否，重复步骤 2-7。

### 4.2 函数模型及其应用 (Function Models and Applications) (可能部分涉及)

*   **常见的函数模型:**
    *   一次函数模型 (`y = kx + b`)
    *   二次函数模型 (`y = ax² + bx + c`)
    *   指数函数模型 (`y = abˣ + c` 或 `y = aeᵏˣ + b`) - "指数爆炸"增长
    *   对数函数模型
    *   幂函数模型 (`y = axᵅ + b`)
*   **建模步骤:**
    1.  **分析问题:** 理解题意，明确变量关系。
    2.  **选择模型:** 根据散点图或增长趋势选择合适的函数类型。
    3.  **求解模型:** 利用已知数据确定模型中的参数。
    4.  **检验模型:** 验证模型是否符合实际情况。
    5.  **应用模型:** 利用模型解决预测、控制等问题。

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**总结:** 高一必修一数学是高中数学的基础，核心内容是集合和函数。集合是数学的基本语言，函数是描述变量关系的核心工具。掌握好集合的基本概念、关系与运算，深刻理解函数的定义、性质、图像及其变换，熟练掌握基本初等函数（指数、对数、幂函数）的特性，是后续学习导数、三角函数、数列、不等式等内容的关键。函数与方程的思想贯穿始终，需要重点理解和应用。

《高一必修一数学思维导图》

第一章：集合 (Sets)

1.1 集合的基本概念 (Basic Concepts of Sets)

集合定义: 具有某种特定性质的、确定的、不同的事物的整体。
元素: 集合中的每个事物。
集合的特性:
- 确定性 (Determinacy): 给定一个元素，必须能明确判断它是否属于该集合。
- 互异性 (Distinctness): 集合中的元素必须是不同的。
- 无序性 (Unordered): 集合中的元素排列没有顺序。
元素与集合的关系:
- 属于 (Belongs to): a ∈ A (元素 a 属于集合 A)
- 不属于 (Does not belong to): a ∉ A (元素 a 不属于集合 A)
集合的表示方法:
- 列举法 (Roster Method): 将元素一一列出，用花括号 {} 括起来，元素间用逗号 , 隔开。例：{1, 2, 3}
- 描述法 (Set-Builder Notation): 用文字或符号描述集合元素的共同特征。例：{x | x 是大于 2 的偶数} 或 {x ∈ R | x > 2}
- 图示法 (Venn Diagram): 用平面上的封闭曲线（通常是圆形或矩形）表示集合。
常用数集:
- 自然数集 (Natural Numbers): N = {0, 1, 2, ...} (或 N = {1, 2, 3, ...}，根据教材定义)
- 正整数集 (Positive Integers): N* 或 N+ = {1, 2, 3, ...}
- 整数集 (Integers): Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}
- 有理数集 (Rational Numbers): Q = {p/q | p ∈ Z, q ∈ N*, p 与 q 互质}
- 实数集 (Real Numbers): R (包含所有有理数和无理数)

1.2 集合间的基本关系 (Basic Relationships Between Sets)

子集 (Subset): A ⊆ B (集合 A 中的任意一个元素都属于集合 B)。
- 任何一个集合是其本身的子集：A ⊆ A
- 空集是任何集合的子集：Ø ⊆ A
- 传递性：若 A ⊆ B 且 B ⊆ C，则 A ⊆ C
真子集 (Proper Subset): A ⊂ B (A 是 B 的子集，且 B 中至少存在一个元素不属于 A)。
- 若 A ⊂ B，则 A ⊆ B。
- 若 A ⊆ B 且 A ≠ B，则 A ⊂ B。
- 空集是任何非空集合的真子集。
空集 (Empty Set): Ø 或 {} (不含任何元素的集合)。
全集 (Universal Set): U (包含了所研究问题中涉及的所有元素的集合)。
集合相等 (Set Equality): A = B (当且仅当 A ⊆ B 且 B ⊆ A)。

1.3 集合的基本运算 (Basic Set Operations)

交集 (Intersection): A ∩ B = {x | x ∈ A 且 x ∈ B} (属于 A 且属于 B 的所有元素组成的集合)。
- A ∩ A = A
- A ∩ Ø = Ø
- A ∩ B = B ∩ A (交换律)
- (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) (结合律)
- A ∩ B ⊆ A, A ∩ B ⊆ B
并集 (Union): A ∪ B = {x | x ∈ A 或 x ∈ B} (属于 A 或属于 B 的所有元素组成的集合)。
- A ∪ A = A
- A ∪ Ø = A
- A ∪ B = B ∪ A (交换律)
- (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (结合律)
- A ⊆ A ∪ B, B ⊆ A ∪ B
补集 (Complement): CUA = {x | x ∈ U 且 x ∉ A} (在全集 U 中，不属于 A 的所有元素组成的集合)。
- CUU = Ø
- CUØ = U
- CU(CUA) = A (对合律)
- 德摩根定律 (De Morgan's Laws):
 - CU(A ∩ B) = (CUA) ∪ (CUB)
 - CU(A ∪ B) = (CUA) ∩ (CUB)
运算性质:
- 分配律:
  - A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
  - A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
集合元素个数 (基数) 的关系 (有限集):
- card(A ∪ B) = card(A) + card(B) - card(A ∩ B)
- card(CUA) = card(U) - card(A)

第二章：函数 (Functions)

2.1 函数的概念 (Concept of Functions)

函数定义: 设 A, B 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 y 和它对应，那么就称 f: A → B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数。
记法: y = f(x), x ∈ A
三要素:
- 定义域 (Domain): 自变量 x 的取值范围，集合 A。 (使函数表达式有意义；实际问题有意义)
  - 求法：分式分母不为0；偶次根式被开方数非负；对数真数大于0，底数大于0且不为1；tan(x) 中 x ≠ kπ + π/2；零次幂底数不为0；实际问题约束。
- 值域 (Range): 函数值 y 的取值范围，集合 {y | y = f(x), x ∈ A}。 (是集合 B 的子集)
  - 求法：观察法、配方法、换元法、单调性法、图像法、不等式法、导数法 (高阶)。
- 对应关系 (Correspondence Rule): f，即如何从 x 得到 y。
函数相等的判定: 定义域相同且对应关系相同。
映射 (Mapping): 集合 A 到集合 B 的一种对应关系，满足 A 中任意元素在 B 中有唯一的像。函数是特殊的映射 (A, B 均为非空数集)。

2.2 函数的表示法 (Representations of Functions)

解析法 (Analytical Method): 用数学表达式表示函数关系。例：y = 2x + 1
列表法 (Tabular Method): 通过表格列出 x 与 y 的对应值。
图像法 (Graphical Method): 在坐标系中用图形表示函数关系 (函数图像)。
- 函数图像与垂直于 x 轴的直线最多只有一个交点。
分段函数 (Piecewise Function): 在定义域的不同部分，有不同的对应关系。处理时需“分段讨论”。

2.3 函数的基本性质 (Basic Properties of Functions)

单调性 (Monotonicity):
- 增函数 (Increasing Function): 在区间 D 上，若对任意 x₁, x₂ ∈ D 且 x₁ < x₂，都有 f(x₁) < f(x₂)。
- 减函数 (Decreasing Function): 在区间 D 上，若对任意 x₁, x₂ ∈ D 且 x₁ < x₂，都有 f(x₁) > f(x₂)。
- 单调区间: 函数具有单调性的区间。 (注意：单调区间不能用 ∪ 连接)
- 证明方法: 定义法 (作差/作商变形判断符号)、图像法、导数法 (高阶)。
奇偶性 (Parity):
- 前提: 定义域关于原点对称。
- 偶函数 (Even Function): 对定义域内任意 x，都有 f(-x) = f(x)。图像关于 y 轴 对称。
- 奇函数 (Odd Function): 对定义域内任意 x，都有 f(-x) = -f(x)。图像关于原点对称。
- 判定方法: 定义法、图像法。
- 性质: 若奇函数在 x=0 处有定义，则 f(0) = 0。
最大值/最小值 (Maximum/Minimum Value):
- 最大值 M: 若存在 x₀ 使得对任意 x，都有 f(x) ≤ f(x₀) = M。
- 最小值 m: 若存在 x₀ 使得对任意 x，都有 f(x) ≥ f(x₀) = m。
- 最值: 函数的最大值和最小值统称。可能在区间端点或单调性改变点取到。
- 与值域的关系：值域是 [m, M] 或 [m, +∞) 或 (-∞, M] 等。

2.4 函数图像变换 (Transformations of Function Graphs)

设原函数为 y = f(x)：
- 平移 (Translation):
 - y = f(x) + k: 上移 k (k>0) / 下移 |k| (k<0)
 - y = f(x + h): 左移 h (h>0) / 右移 |h| (h<0) (左加右减)
- 对称 (Reflection):
 - y = -f(x): 关于 x 轴 对称
 - y = f(-x): 关于 y 轴 对称
 - y = -f(-x): 关于原点对称
- 伸缩 (Stretching/Compression):
 - y = af(x) (a>0): 纵坐标变为原来的 a 倍 ( a>1 伸长, 0<a<1 压缩)
 - y = f(bx) (b>0): 横坐标变为原来的 1/b 倍 ( b>1 压缩, 0<b<1 伸长)
- 含绝对值的变换:
 - y = |f(x)|: 保留 x 轴上方图像，将 x 轴下方图像翻折到 x 轴上方。
 - y = f(|x|): 保留 y 轴右侧图像，擦去 y 轴左侧图像，将 y 轴右侧图像翻折到 y 轴左侧 (得到偶函数图像)。

第三章：基本初等函数 (I) (Basic Elementary Functions I)

3.1 指数函数 (Exponential Functions)

定义: y = aˣ (其中 a > 0 且 a ≠ 1)
图像与性质:
- 定义域: R
- 值域: (0, +∞)
- 过定点: (0, 1)
- 单调性:
 - 当 a > 1 时，在 R 上是增函数。
 - 当 0 < a < 1 时，在 R 上是减函数。
- 图像位置: 恒在 x 轴上方。
运算性质 (指数幂):
- aᵐ ⋅ aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
- (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ
- (ab)ⁿ = aⁿbⁿ
- a⁰ = 1 (a ≠ 0)
- a⁻ⁿ = 1/aⁿ (a ≠ 0)
- a^(m/n) = ⁿ√aᵐ (a > 0, m, n ∈ N*, n > 1)

3.2 对数函数 (Logarithmic Functions)

对数定义: 如果 aˣ = N (a > 0, a ≠ 1, N > 0)，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 x = logₐN。
- a: 底数 (base)
- N: 真数 (argument)
- x: 对数 (logarithm)
对数恒等式: a^(logₐN) = N (a > 0, a ≠ 1, N > 0)
logₐa = 1
logₐ1 = 0
常用对数 (Common Logarithm): 以 10 为底，记作 lg N。
自然对数 (Natural Logarithm): 以 e (≈ 2.71828...) 为底，记作 ln N。
对数函数定义: y = logₐx (其中 a > 0 且 a ≠ 1)
图像与性质:
- 定义域: (0, +∞)
- 值域: R
- 过定点: (1, 0)
- 单调性:
 - 当 a > 1 时，在 (0, +∞) 上是增函数。
 - 当 0 < a < 1 时，在 (0, +∞) 上是减函数。
运算性质: (M > 0, N > 0, a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1, n ∈ R)
- logₐ(MN) = logₐM + logₐN
- logₐ(M/N) = logₐM - logₐN
- logₐ(Mⁿ) = n logₐM
- 换底公式 (Change-of-Base Formula): logₐb = (log<0xE1><0xB5><0x84>b) / (log<0xE1><0xB5><0x84>a) (c > 0, c ≠ 1)
 - 推论: logₐb ⋅ log<0xE2><0x82><0x98>a = 1
 - 推论: log_(aⁿ) bᵐ = (m/n) logₐb

3.3 指数函数与对数函数的关系 (Relationship between Exp & Log Functions)

函数 y = aˣ (a>0, a≠1) 与 y = logₐx (a>0, a≠1) 互为反函数 (Inverse Functions)。
图像关系: 它们的图像关于直线 y = x 对称。
定义域与值域互换: 指数函数的定义域是 R，值域是 (0, +∞)；对数函数的定义域是 (0, +∞)，值域是 R。

3.4 幂函数 (Power Functions)

定义: y = xᵅ (其中 α 是常数)。
常见幂函数的图像与性质 (α = 1, 2, 3, 1/2, -1):
- y = x (α=1): 直线，过原点，定义域 R，值域 R，奇函数，增函数。
- y = x² (α=2): 抛物线，顶点(0,0)，开口向上，定义域 R，值域 [0, +∞)，偶函数，在 (-∞, 0] 减，在 [0, +∞) 增。
- y = x³ (α=3): 立方曲线，过原点，定义域 R，值域 R，奇函数，增函数。
- y = x^(1/2) (α=1/2): y = √x，定义域 [0, +∞)，值域 [0, +∞)，非奇非偶，增函数。
- y = x⁻¹ (α=-1): y = 1/x，双曲线，关于原点对称，定义域 {x | x ≠ 0}，值域 {y | y ≠ 0}，奇函数，在 (-∞, 0) 和 (0, +∞) 上均是减函数。
共性:
- 当 α > 0 时，图像都过点 (1, 1)，在 (0, +∞) 上是增函数 (部分)。
- 当 α < 0 时，图像都过点 (1, 1)，在 (0, +∞) 上是减函数，且与坐标轴无限接近但不相交。
- 定义域和值域随 α 的不同而不同。
- 奇偶性取决于 α (整数次幂看奇偶，分数次幂看定义域)。

第四章：函数与方程 (Functions and Equations) (或函数应用)

4.1 函数的零点 (Zeros of a Function)

定义: 对于函数 y = f(x)，使 f(x) = 0 的实数 x 叫做函数 y = f(x) 的零点。
等价关系:
- 方程 f(x) = 0 有实数根
- ⇔ 函数 y = f(x) 的图像与 x 轴有交点
- ⇔ 函数 y = f(x) 有零点
零点存在性定理 (Zero Existence Theorem): 如果函数 y = f(x) 在区间 [a, b] 上的图像是连续不断的一条曲线，并且有 f(a) ⋅ f(b) < 0，那么函数 y = f(x) 在区间 (a, b) 内至少有一个零点。 (注意：f(a) ⋅ f(b) > 0 不能判断无零点)
二分法 (Bisection Method): 求函数零点近似值的方法。
- 前提: 函数在 [a, b] 连续，且 f(a) ⋅ f(b) < 0。
- 步骤:
 1. 确定区间 [a, b]，验证 f(a) ⋅ f(b) < 0，给定精度 ε。
 2. 求区间中点 m = (a + b) / 2。
 3. 计算 f(m)。
 4. 若 f(m) = 0，则 m 是零点，结束。
 5. 若 f(a) ⋅ f(m) < 0，则零点在 (a, m) 内，令 b = m。
 6. 若 f(m) ⋅ f(b) < 0，则零点在 (m, b) 内，令 a = m。
 7. 判断是否达到精度 ε (即 |a - b| < ε)。若否，重复步骤 2-7。

4.2 函数模型及其应用 (Function Models and Applications) (可能部分涉及)

常见的函数模型:
- 一次函数模型 (y = kx + b)
- 二次函数模型 (y = ax² + bx + c)
- 指数函数模型 (y = abˣ + c 或 y = aeᵏˣ + b) - "指数爆炸"增长
- 对数函数模型
- 幂函数模型 (y = axᵅ + b)
建模步骤:
1. 分析问题: 理解题意，明确变量关系。
2. 选择模型: 根据散点图或增长趋势选择合适的函数类型。
3. 求解模型: 利用已知数据确定模型中的参数。
4. 检验模型: 验证模型是否符合实际情况。
5. 应用模型: 利用模型解决预测、控制等问题。

总结: 高一必修一数学是高中数学的基础，核心内容是集合和函数。集合是数学的基本语言，函数是描述变量关系的核心工具。掌握好集合的基本概念、关系与运算，深刻理解函数的定义、性质、图像及其变换，熟练掌握基本初等函数（指数、对数、幂函数）的特性，是后续学习导数、三角函数、数列、不等式等内容的关键。函数与方程的思想贯穿始终，需要重点理解和应用。

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