《数学八下思维导图》
一、平方根与立方根
1. 平方根
- 定义： 如果一个数 x 的平方等于 a，那么 x 叫做 a 的平方根。
- 表示： √a，读作“根号a”。
- 性质：
- 正数有两个平方根，互为相反数。
- 0的平方根是0。
- 负数没有平方根。
- 算术平方根： 正数a的正的平方根，记作 √a。
- 开平方： 求一个数的平方根的运算叫做开平方。
2. 立方根
- 定义： 如果一个数 x 的立方等于 a，那么 x 叫做 a 的立方根。
- 表示： ³√a，读作“三次根号a”。
- 性质：
- 一个正数有一个正的立方根。
- 一个负数有一个负的立方根。
- 0的立方根是0。
- 开立方： 求一个数的立方根的运算叫做开立方。
3. 实数
- 定义： 有理数和无理数统称为实数。
- 分类：
- 有理数：可以写成分数的数（整数和分数）。
- 无理数：无限不循环小数。
- 实数与数轴： 实数与数轴上的点一一对应。
- 运算： 实数的运算与有理数的运算类似，遵循相同的运算律和运算顺序。
- 绝对值： 实数a的绝对值为|a|，当a≥0时，|a|=a；当a<0时，|a|=-a。
二、整式的乘法与因式分解
1. 整式的乘法
- 幂的运算：
- 同底数幂的乘法：am • an = am+n
- 幂的乘方：(am)n = amn
- 积的乘方：(ab)n = anbn
- 同底数幂的除法：am ÷ an = am-n (a≠0)
- 零指数幂：a0 = 1 (a≠0)
- 负指数幂：a-p = 1/ap (a≠0)
- 整式的乘法：
- 单项式乘以单项式：系数相乘，相同字母的幂相乘，其余字母照抄。
- 单项式乘以多项式：运用乘法分配律，转化为单项式乘以单项式。
- 多项式乘以多项式：运用乘法分配律，转化为单项式乘以多项式。
- 乘法公式：
- 平方差公式：(a+b)(a-b) = a² - b²
- 完全平方公式：(a+b)² = a² + 2ab + b²，(a-b)² = a² - 2ab + b²
2. 因式分解
- 定义： 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式。
- 方法：
- 提公因式法：ma + mb + mc = m(a + b + c)
- 运用公式法：
- 平方差公式：a² - b² = (a+b)(a-b)
- 完全平方公式：a² + 2ab + b² = (a+b)²，a² - 2ab + b² = (a-b)²
- 十字相乘法(部分地区会涉及)
- 注意：
- 分解因式必须进行到每一个因式都不能再分解为止。
- 分解结果必须是积的形式。
三、分式
1. 分式
- 定义： 形如 A/B 的式子，其中A、B是整式，且B中含有字母，B≠0，这样的式子叫做分式。
- 分式的基本性质： 分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变。
- A/B = (A×C)/(B×C) = (A÷C)/(B÷C) (C≠0)
- 约分： 把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫做约分。约分的结果必须是最简分式。
- 通分： 把几个异分母的分式分别化成与原来分式相等的同分母的分式，叫做通分。
- 最简公分母： 各分母所有因式的最高次幂的积。
2. 分式的运算
- 分式的乘法： A/B × C/D = (A×C)/(B×D)
- 分式的除法： A/B ÷ C/D = A/B × D/C = (A×D)/(B×C)
- 分式的加减法：
- 同分母分式加减法： A/C ± B/C = (A±B)/C
- 异分母分式加减法：先通分，变为同分母分式，再进行加减运算。
- 分式方程： 含有分式的方程。
- 解分式方程的步骤：
- 去分母：方程两边同乘最简公分母，化为整式方程。
- 解整式方程。
- 验根：把整式方程的解代入最简公分母，看结果是否为零。如果为零，则原方程无解。
- 分式方程的应用： 主要解决工程问题、行程问题、顺逆流问题等。
四、四边形
1. 多边形
- 定义： 在同一平面内，由不在同一直线上的若干条线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形。
- 内角和： (n-2)×180° (n为边数)
- 外角和： 360°
2. 平行四边形
- 定义： 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
- 性质：
- 对边平行且相等。
- 对角相等。
- 邻角互补。
- 对角线互相平分。
- 判定：
- 两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
- 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
- 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
- 两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
- 对角线互相平分的四边形是平行四边形。
3. 矩形
- 定义： 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
- 性质：
- 具有平行四边形的所有性质。
- 四个角都是直角。
- 对角线相等。
- 判定：
- 有一个角是直角的平行四边形是矩形。
- 对角线相等的平行四边形是矩形。
- 有三个角是直角的四边形是矩形。
4. 菱形
- 定义： 一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
- 性质：
- 具有平行四边形的所有性质。
- 四条边都相等。
- 对角线互相垂直平分，且平分一组对角。
- 判定：
- 一组邻边相等的平行四边形是菱形。
- 对角线互相垂直平分的四边形是菱形。
- 四条边都相等的四边形是菱形。
5. 正方形
- 定义： 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
- 性质：
- 具有矩形和菱形的所有性质。
- 四条边都相等。
- 四个角都是直角。
- 对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。
- 判定：
- 有一个角是直角的菱形是正方形。
- 有一组邻边相等的矩形是正方形。
6. 梯形
- 定义： 只有一组对边平行的四边形叫做梯形。
- 等腰梯形： 两腰相等的梯形。
- 直角梯形： 有一个角是直角的梯形。
- 中位线： 连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。
- 梯形中位线性质： 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
五、数据的分析
1. 平均数
- 算术平均数： 所有数据的总和除以数据的个数。
- 加权平均数： 将每个数据乘以其相应的权重，然后求和，再除以权重之和。
- 样本平均数估计总体平均数： 用样本的平均数估计总体的平均数。
2. 中位数
- 定义： 将一组数据按大小顺序排列，位于中间位置的数（当数据个数为奇数时）或中间两个数的平均数（当数据个数为偶数时）。
3. 众数
- 定义： 一组数据中出现次数最多的数据。
4. 方差
- 定义： 各个数据与其平均数差的平方的平均数。
- 公式： s² = [(x1-x̄)² + (x2-x̄)² + ... + (xn-x̄)²]/n，其中x̄为平均数。
5. 标准差
- 定义： 方差的算术平方根。
- 意义： 方差和标准差描述数据的波动程度，越大表示数据越分散，越小表示数据越集中。
6. 用样本估计总体
- 抽样调查： 从总体中抽取一部分个体进行调查。
- 样本： 被抽取的个体组成样本。
- 总体： 所要考察对象的全体。
- 用样本平均数、方差估计总体平均数、方差： 利用样本的数据特征，推断总体的数据特征。