《七年级数学1单元思维导图》

中心主题：有理数

一级分支：

1. 正数与负数

   • 定义：
     • 正数：大于0的数，可以在数字前加“+”号（通常省略）。
     • 负数：小于0的数，必须在数字前加“-”号。
     • 0：既不是正数，也不是负数，是正数和负数的分界点。
   • 意义：
     • 表示具有相反意义的量。 例如：盈利/亏损，上升/下降，增加/减少，向东/向西等。
   • 表示方法：
     • 用“+”或“-”号标记正数和负数，注意符号的规范书写。
   • 例题：
     • 如果温度上升3℃记作+3℃，那么下降5℃记作什么？
     • 如果收入100元记作+100元，那么支出50元记作什么？
     • 指出下列各数哪些是正数，哪些是负数：5，-2，0，+3.5，-1/2，12/5。

2. 有理数

   • 定义：
     • 整数和分数的统称。
     • 可以表示成 p/q (q≠0) 的形式的数。
   • 分类：
     • 按定义分：
       • 整数：正整数、0、负整数。
       • 分数：正分数、负分数。
     • 按性质分：
       • 正有理数：正整数、正分数。
       • 0
       • 负有理数：负整数、负分数。
   • 注意：
     • 无限循环小数可以化为分数，因此是有理数。
     • 无限不循环小数是无理数（不在本单元讨论范围）。
   • 数集的概念：
     • 所有有理数组成的集合，称为有理数集。
     • 类似的概念：正数集，负数集，整数集等等。
   • 例题：
     • 将下列各数填入相应的集合中：-3，0，+5，-1/3，3.14，-0.78，11。
       • 正数集合：{ }
       • 负数集合：{ }
       • 整数集合：{ }
       • 分数集合：{ }

3. 数轴

   • 定义：
     • 规定了原点、正方向和单位长度的直线。
   • 要素：
     • 原点：数轴上表示0的点。
     • 正方向：数轴上箭头所指的方向（通常向右）。
     • 单位长度：数轴上相邻两个刻度之间的长度。
   • 作用：
     • 形象地表示数。
     • 比较数的大小。
   • 画法：
     • 画一条直线，选取一点作为原点，确定正方向，选取适当的长度作为单位长度。
     • 注意正方向的箭头，以及单位长度的均匀性。
   • 数轴上的点与有理数的关系：
     • 每一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。
     • 但数轴上的点并不都表示有理数（例如无理数对应的点）。
   • 例题：
     • 在数轴上画出表示下列各数的点：-3，2，-1.5，0，2.5。
     • 指出数轴上A、B两点所表示的数（A、B在数轴上的位置已给定）。

4. 绝对值

   • 定义：
     • 在数轴上表示数a的点与原点的距离，记作|a|。
   • 性质：
     • |a| ≥ 0 (绝对值非负)。
     • 正数的绝对值是它本身。
     • 负数的绝对值是它的相反数。
     • 0的绝对值是0。
     • 可以用代数式表示：
       • |a| = a (a ≥ 0)
       • |a| = -a (a < 0)
   • 几何意义：
     • 数轴上表示的点到原点的距离。
   • 绝对值的化简：
     • 需要判断绝对值符号内的数的正负性，然后根据绝对值的性质进行化简。
   • 例题：
     • 求下列各数的绝对值：-5，3，0，-1/2，+2.7。
     • 化简：|3|，|-2|，|0|，|-(-5)|，|-|+3||。
     • 如果|x| = 5，那么x = ？

5. 有理数的大小比较

   • 数轴法：
     • 数轴上右边的数总比左边的数大。
   • 法则：
     • 正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数。
     • 两个负数，绝对值大的反而小。
   • 比较方法总结：
     • 先判断正负性，正数 > 0 > 负数。
     • 同为正数，直接比较大小。
     • 同为负数，比较绝对值，绝对值大的反而小。
   • 例题：
     • 比较下列各数的大小：-3和2，0和-5，-2和-7，-1/2和-1/3。
     • 将下列各数按从小到大的顺序排列：-4，0，3，-1，-2.5。

6. 相反数

   • 定义：
     • 只有符号不同的两个数，互为相反数。
   • 性质：
     • a的相反数是 -a。
     • 0的相反数是0。
     • a + (-a) = 0
     • 在数轴上，表示相反数的两个点位于原点的两侧，并且到原点的距离相等。
   • 双重符号的化简：
     • -(-a) = a
     • +(-a) = -a
   • 例题：
     • 写出下列各数的相反数：5，-2，0，1/3，-3.5。
     • 化简：-(-3)，+(-5)，-(+2)，+(-(-1))。

二级分支 (针对每个一级分支的具体内容进行细化):

• 例如, 在 "绝对值" 的二级分支中, 可以包含:

  • 绝对值的几何意义的图形表示
  • 绝对值在实际问题中的应用 (例如: 误差范围)
  • 涉及绝对值的简单方程和不等式 (简单的形式)

• 例如, 在 "有理数的大小比较" 的二级分支中, 可以包含:

  • 利用数轴进行直观比较的例子
  • 针对不同类型的数比较大小的练习题

补充说明：

• 本思维导图旨在梳理七年级数学第一单元的核心概念和知识点。
• 具体内容可以根据教材和教学实际情况进行调整和补充。
• 鼓励学生通过绘制自己的思维导图来加深对知识的理解和记忆。
• 思维导图应注重条理性和逻辑性，方便查阅和复习。
• 本导图未包含具体计算，计算内容将在后续单元学习。重点在于概念理解。