7年级下册实数思维导图
一、实数的概念
1. 有理数
- 定义: 可以表示成 $\frac{p}{q}$ (p, q 为整数且 q ≠ 0) 的数。
- 分类:
- 整数:
- 正整数
- 0
- 负整数
- 分数:
- 正分数
- 负分数
- 整数:
- 性质:
- 有限小数或无限循环小数
2. 无理数
- 定义: 无限不循环小数。
- 常见的无理数类型:
- 根号型无理数: 如 $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$ (开方开不尽的数)
- π: π = 3.1415926...
- 特定结构的无限不循环小数: 如 0.1010010001... (每两个1之间0的个数依次加1)
- 性质:
- 不能表示成分数形式。
- 是无限不循环小数。
3. 实数
- 定义: 有理数和无理数统称为实数。
- 分类:
- 按定义分:
- 有理数
- 无理数
- 按正负分:
- 正实数
- 0
- 负实数
- 按定义分:
- 性质:
- 实数与数轴上的点一一对应。
- 实数可以进行加、减、乘、除、乘方运算（除数不为零）。
- 任意两个实数都可以比较大小。
二、平方根
1. 算术平方根
- 定义: 若 $x^2 = a$ (a ≥ 0)，则 x 叫做 a 的算术平方根，记作 $\sqrt{a}$。
- 性质:
- $\sqrt{a}$ ≥ 0 (a ≥ 0)
- $(\sqrt{a})^2 = a$ (a ≥ 0)
- $\sqrt{a^2} = |a| = \begin{cases} a, & a \geq 0 \ -a, & a < 0 \end{cases}$
2. 平方根
- 定义: 若 $x^2 = a$，则 x 叫做 a 的平方根，记作 ±$\sqrt{a}$。
- 性质:
- 正数有两个平方根，它们互为相反数。
- 0的平方根是0。
- 负数没有平方根。
- 表示: 正平方根是 $\sqrt{a}$，负平方根是 -$\sqrt{a}$。
3. 开平方
- 定义: 求一个数 a 的平方根的运算叫做开平方。
三、立方根
1. 立方根
- 定义: 若 $x^3 = a$，则 x 叫做 a 的立方根，记作 $\sqrt[3]{a}$。
- 性质:
- 一个数只有一个立方根。
- 正数的立方根是正数。
- 0的立方根是0。
- 负数的立方根是负数。
- 公式:
- $(\sqrt[3]{a})^3 = a$
- $\sqrt[3]{a^3} = a$
2. 开立方
- 定义: 求一个数 a 的立方根的运算叫做开立方。
四、实数的大小比较
1. 数轴法
- 在数轴上，右边的数总比左边的数大。
2. 法则法
- 正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数。
- 两个正数，绝对值大的较大。
- 两个负数，绝对值大的反而小。
3. 估算法
- 利用平方/立方运算，将无理数转化为近似的有理数进行比较。例如比较 $\sqrt{5}$ 和 2.2, 因为 $2.2^2 = 4.84 < 5$, 所以 $\sqrt{5} > 2.2$。
4. 差值法
- 若a-b > 0, 则 a > b; 若 a-b < 0, 则 a < b; 若 a-b = 0, 则 a = b。
5. 平方法/立方方法 (针对正数)
- 若a, b均为正数，比较a和b的大小可以转化为比较 $a^2$ 和 $b^2$ 或者 $a^3$ 和 $b^3$ 的大小。
五、实数的运算
1. 运算顺序
- 先乘方开方，再乘除，最后加减，有括号先算括号里面的。
2. 运算律
- 加法交换律： a + b = b + a
- 加法结合律： (a + b) + c = a + (b + c)
- 乘法交换律： a × b = b × a
- 乘法结合律： (a × b) × c = a × (b × c)
- 乘法分配律： a × (b + c) = a × b + a × c
3. 运算技巧
- 化简根式，将被开方数化为完全平方数或完全立方数。
- 利用运算律简化运算。
- 注意符号的确定，尤其是在开方运算中。
- 掌握一些常用的近似值，例如 $\sqrt{2} ≈ 1.414$, $\sqrt{3} ≈ 1.732$。
六、易错点
- 区分平方根和算术平方根的概念。
- 负数没有平方根，但有立方根。
- 在开方运算中注意符号。
- 无理数的判断，不仅仅是带根号的数。
- 实数与数轴上的点一一对应，理解“一一对应”的含义。
- 实数大小比较时，尤其是有负数参与的情况。
- 忽略0既不是正数也不是负数，但它是实数、有理数。
- 混淆有理数和无理数的概念。 无理数是无限不循环小数，而不是无限小数。
- 误认为分数都是有理数。
七、典型例题
（此处省略，实际使用时可填充典型例题及解析）