几何图形思维导图
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
# 《几何图形思维导图》
## 一、基础概念
* **1.1 点、线、面、体**
* 点：无大小，只有位置，是构成图形的基本元素。
* 线：
* 直线：向两方无限延伸，两点确定一条直线。
* 射线：直线上一点及其一侧的部分。
* 线段：直线上两点及其之间的部分。
* 曲线：弯曲的线。
* 面：由线构成，有大小。
* 平面：无限延伸的没有弯曲的面。
* 曲面：弯曲的面。
* 体：由面构成，占据空间。
* 多面体：由多个平面围成的立体图形。
* 旋转体：由平面图形绕一条直线旋转一周形成的立体图形。
* **1.2 角**
* 定义：从一点发出的两条射线形成的图形。
* 角的度量：度、分、秒（六十进制）。
* 角的分类：
* 锐角：小于90°的角。
* 直角：等于90°的角。
* 钝角：大于90°小于180°的角。
* 平角：等于180°的角。
* 周角：等于360°的角。
* 角的运算：角的和差倍分。
* 特殊角关系：
* 互余：两角之和为90°。
* 互补：两角之和为180°。
* 对顶角：两条直线相交，有公共顶点的两个角，对顶角相等。
* 邻补角：两条直线相交，有公共顶点且有一条公共边的两个角，邻补角互补。
## 二、平面图形
* **2.1 三角形**
* 定义：由三条线段首尾顺次相连组成的封闭图形。
* 分类：
* 按角分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
* 按边分：不等边三角形、等腰三角形（含等边三角形）。
* 重要线段：
* 中线：连接顶点和对边中点的线段。
* 高线：从顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段。
* 角平分线：三角形一个内角的平分线与对边相交，顶点与交点之间的线段。
* 性质：
* 三角形内角和等于180°。
* 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
* 大角对大边，大边对大角。
* 特殊三角形：
* 等腰三角形：两边相等，两底角相等，顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高线重合（三线合一）。
* 等边三角形：三边相等，三个角都等于60°。
* 直角三角形：两锐角互余，斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理（a²+b²=c²）。
* 三角形的面积：
* 一般三角形：1/2 * 底 * 高
* 海伦公式：√[p(p-a)(p-b)(p-c)]，其中p=(a+b+c)/2
* 正弦公式：1/2 * ab * sinC
* 全等三角形的判定：SSS, SAS, ASA, AAS, HL(直角三角形)
* 相似三角形的判定：AA, SAS, SSS
* **2.2 四边形**
* 定义：由四条线段首尾顺次相连组成的封闭图形。
* 分类：
* 一般四边形
* 平行四边形：两组对边分别平行。
* 性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分。
* 矩形：有一个角是直角的平行四边形。
* 性质：具有平行四边形的所有性质，四个角都是直角，对角线相等。
* 菱形：有一组邻边相等的平行四边形。
* 性质：具有平行四边形的所有性质，四条边都相等，对角线互相垂直平分，且平分每一组对角。
* 正方形：四个角都是直角，四条边都相等的四边形。
* 性质：具有矩形和菱形的所有性质。
* 梯形：只有一组对边平行的四边形。
* 等腰梯形：两腰相等的梯形，两底角相等，对角线相等。
* 直角梯形：有一个角是直角的梯形。
* 四边形的内角和：360°
* 特殊四边形的判定：
* 平行四边形：两组对边分别平行/两组对边分别相等/一组对边平行且相等/两组对角分别相等/对角线互相平分。
* 矩形：有一个角是直角的平行四边形/对角线相等的平行四边形。
* 菱形：有一组邻边相等的平行四边形/对角线互相垂直的平行四边形。
* 正方形：有一组邻边相等的矩形/有一个角是直角的菱形。
* **2.3 圆**
* 定义：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形。
* 要素：圆心、半径、直径。
* 弧、弦、圆心角、圆周角。
* 重要性质：
* 圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。
* 圆周角定理：圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半。
* 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
* 切线的判定与性质：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径。
* 圆的面积：πr²
* 圆的周长：2πr
* 弧长公式：l = (n/180)πr
* 扇形面积公式：S = (n/360)πr² = (1/2)lr
## 三、立体图形
* **3.1 棱柱**
* 定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的多面体。
* 分类：直棱柱、斜棱柱；正棱柱。
* 性质：上下底面全等，侧棱相等。
* 表面积：侧面积 + 2 * 底面积
* 体积：底面积 * 高
* **3.2 棱锥**
* 定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的多面体。
* 分类：正棱锥。
* 表面积：侧面积 + 底面积
* 体积：1/3 * 底面积 * 高
* **3.3 圆柱**
* 定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体。
* 表面积：2πr² + 2πrh
* 体积：πr²h
* **3.4 圆锥**
* 定义：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体。
* 表面积：πr² + πrl (l为母线长)
* 体积：1/3 * πr²h
* **3.5 球**
* 定义：空间中到定点的距离等于定长的所有点组成的图形。
* 表面积：4πr²
* 体积：(4/3)πr³
## 四、几何变换
* **4.1 平移**
* 定义：将图形上的所有点都按照某个方向移动相同的距离。
* 性质：图形的形状和大小不变，只是位置发生了改变。
* **4.2 旋转**
* 定义：将图形绕着一个定点旋转一定的角度。
* 要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度。
* 性质：图形的形状和大小不变，只是位置发生了改变。
* **4.3 轴对称**
* 定义：如果一个图形沿着一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
* 性质：对应点到对称轴的距离相等，对应线段相等，对应角相等。
* **4.4 中心对称**
* 定义：如果一个图形绕着一个定点旋转180°后能够与自身重合，这样的图形叫做中心对称图形，这个定点叫做对称中心。
* 性质：对应点关于对称中心对称，对应线段相等，对应角相等。
* **4.5 位似**
* 定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心。
* 性质：对应点到位似中心的距离之比等于位似比。
## 五、几何证明
* **5.1 公理与定理**
* 公理：经过长期实践检验，公认是正确的命题。
* 定理：经过证明是正确的命题。
* **5.2 证明方法**
* 综合法：从已知条件出发，逐步推导出结论。
* 分析法：从要证明的结论出发，逐步追溯到已知条件。
* 反证法：假设结论不成立，推出矛盾，从而证明结论成立。
* **5.3 常用证明模型**
* 全等三角形模型：ASA, AAS, SAS, SSS, HL
* 相似三角形模型：AA, SAS, SSS
* 平行四边形模型
* 中点模型
## 六、几何计算
* **6.1 长度计算**
* 线段长度
* 周长计算
* **6.2 角度计算**
* 三角形内角和
* 四边形内角和
* 多边形内角和
* **6.3 面积计算**
* 三角形面积
* 四边形面积
* 圆的面积
* 扇形面积
* 组合图形面积
* **6.4 体积计算**
* 棱柱体积
* 棱锥体积
* 圆柱体积
* 圆锥体积
* 球的体积
## 七、坐标几何
* **7.1 平面直角坐标系**
* x轴、y轴、原点、象限。
* 点的坐标。
* **7.2 两点间的距离公式**
* d = √[(x2-x1)² + (y2-y1)²]
* **7.3 中点坐标公式**
* ((x1+x2)/2, (y1+y2)/2)
* **7.4 直线方程**
* 点斜式：y - y1 = k(x - x1)
* 斜截式：y = kx + b
* 一般式：Ax + By + C = 0
* **7.5 圆的方程**
* 标准方程：(x - a)² + (y - b)² = r²
* 一般方程：x² + y² + Dx + Ey + F = 0
This document provides a comprehensive overview of geometric concepts, from basic definitions to advanced calculations and coordinate geometry. It serves as a useful reference and a tool for understanding and solving geometry problems.
